Complément orthogonal

En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire et en analyse fonctionnelle, le complément orthogonal W^⊥ d'un sous-espace vectoriel W d'un espace préhilbertien V est l'ensemble des vecteurs de V qui sont orthogonaux à tout vecteur de W, c'est-à-dire

$W^{\bot }=\left\{\,x\in V\mid \forall y\in W\ \langle y\mid x\rangle =0\,\right\}.$

Le complément orthogonal est toujours un sous-espace vectoriel fermé. Pour un espace de Hilbert, d'après le théorème du supplémentaire orthogonal, le complément orthogonal du complément orthogonal de W est l'adhérence de W, soit

$W^{\bot \,\bot }={\overline {W}}.$

Espace de Banach

Il existe un analogue de cette notion pour un espace de Banach quelconque. On peut alors définir le complément orthogonal de W comme étant le sous-espace du dual topologique V' de V défini par

$W^{\bot }=\left\{\,x\in V'\mid \forall y\in W\ x(y)=0\,\right\}.$

Il s'agit toujours d'un sous-espace fermé de V'. Il existe aussi une propriété analogue au double complément. W^⊥⊥ est alors un sous-espace de V'' (qui n'est pas égal à V). Cependant, si V est un espace réflexif, c'est-à-dire si le morphisme naturel $i:V\to V''$ est un isomorphisme, on a :

$i({\overline {W}})=W^{\bot \,\bot }.$

C'est une conséquence du théorème de Hahn-Banach.

Références

• (en) Paul R. Halmos, Finite-dimensional vector spaces, Berlin, New York, Springer, 1974 (ISBN 978-0-387-90093-3)

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Orthogonal complement » (voir la liste des auteurs).