Complément orthogonal

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En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire et en analyse fonctionnelle, le complément orthogonal $W^\bot$ d'un sous-espace vectoriel W d'un espace préhilbertien V est l'ensemble des vecteurs de V qui sont orthogonaux à tout vecteur de W, c'est-à-dire

$W^\bot=\left\{\,x\in V : \forall y\in W\ \langle x \mid y \rangle = 0 \, \right\}.\,$

Le complément orthogonal est toujours fermé. Pour un espace de Hilbert, le complément orthogonal du complément orthogonal de W est l'adhérence de W, soit

$W^{\bot\,\bot}=\overline W~.$

Espace de Banach

Il existe un analogue de cette notion pour un espace de Banach quelconque. On peut alors définir le complément orthogonal de W comme étant le sous-espace du dual topologique V' de V défini par

$W^\bot = \left\{\,x\in V' : \forall y\in W\ x(y) = 0 \, \right\}~.$

Il s'agit toujours d'un sous-espace fermé de V' . Il existe aussi une propriété analogue au double complément. $W^{\bot\,\bot}$ est alors un sous-espace de V'' (qui n'est pas égal à V). Cependant, si V est un espace réflexif, c'est-à-dire si le morphisme naturel $i:V\to V''$ est un isomorphisme, on a :

$i(\overline W)= W^{\bot\,\bot}~.$

C'est une conséquence du théorème de Hahn-Banach.

Références

• (en) Paul R. Halmos, Finite-dimensional vector spaces, Berlin, New York, Springer, 1974 (ISBN 978-0-387-90093-3) 

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Orthogonal complement » (voir la liste des auteurs)