Application identité

En mathématiques, sur un ensemble X donné, l'application identité ou la fonction identité est l'application qui n'a aucun effet lorsqu'elle est appliquée à un élément : elle renvoie toujours la valeur qui est utilisée comme argument. Formellement, c'est l'application

${\rm {id}}_{X}\colon X\to X,x\mapsto x.$

Le graphe de l'application identité est appelé la diagonale du produit cartésien X×X. Pour X égal à l'ensemble des réels, ce graphe est la première bissectrice du plan euclidien.

Notations

L'application id_X est aussi notée Id_X. Quand il n'y a pas d'ambiguïté sur l'ensemble X sur lequel on travaille, on la note id ou Id.

Elle est parfois notée 1_X, mais cette dernière notation peut prêter à confusion avec la fonction indicatrice d'une partie X d'un ensemble.

Propriétés remarquables

Pour toute application f d'un ensemble X dans un ensemble Y, on a :

$f\circ \mathrm {id} _{X}=f=\mathrm {id} _{Y}\circ f$

En particulier, l'application identité est l'élément neutre du monoïde des applications de X dans lui-même (muni de la composition de fonctions), et du groupe symétrique de X (le groupe des bijections de X dans lui-même).

En algèbre linéaire

Si E est un espace vectoriel, alors Id_E est une application linéaire et son déterminant vaut 1.

Si X est un espace vectoriel de dimension finie n, alors la matrice représentant Id_X est la matrice unité I_n.

En topologie

L'application identité permet de comparer deux topologies : sur X, une topologie τ₂ est plus fine qu'une topologie τ₁ lorsque id_X est continue de (X, τ₂) dans (X, τ₁).