Norme asymétrique

En mathématiques, une norme asymétrique sur un espace vectoriel est une généralisation du concept de norme.

Définition

Une norme asymétrique sur un espace vectoriel réel $X$ est une fonction $p:X\to \left[0,+\infty \right[$ qui est :

• sous-additive, i.e. satisfait à l'inégalité triangulaire : $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$ pour tous $x,y\in X$ ;
• positivement homogène : $p(rx)=rp(x)$ pour tout $x\in X$et tout nombre réel positif ou nul $r\geq 0.$
• définie positive : $p(x)>0$ pour tout $x\in X$ non nul.

Les normes asymétriques diffèrent des normes dans la mesure où l'on n'a pas nécessairement l'égalité $p(-x)=p(x)$.

Si la dernière condition est omise, c'est-à-dire si l'on ne suppose pas que $p$ est définie positive, on dit que $p$ est une semi-norme asymétrique. Une condition plus faible qu'être définie positive est d'être non dégénérée : $x\neq 0,$ au moins l'un des deux nombres $p(x)$ et $p(-x)$ n'est pas nul.

Exemples

Sur la droite réelle $\mathbb {R} ,$ la fonction $p$ donnée par

$$p(x)={\begin{cases}|x|&{\text{si}}\ x\leq 0,\\2|x|&{\text{si}}\ x\geq 0\end{cases}}$$

est une norme asymétrique mais pas une norme.

Dans un espace vectoriel réel $X,$ la fonctionnelle de Minkowski $p_{B}$ d'une partie convexe $B\subseteq X$ qui contient l'origine est définie par la formule

$$p_{B}(x)=\inf \left\{r\geq 0:x\in rB\right\}\,$$

pour $x\in X$.

Cette fonctionnelle est une semi-norme asymétrique lorsque $B$ est un ensemble absorbant, ce qui signifie que $\bigcup _{r\geq 0}rB=X$ et assure que $p(x)$ est fini pour tout $x\in X$.

Correspondance entre semi-normes asymétriques et sous-ensembles convexes de l'espace dual

Si $B^{*}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ est une partie convexe qui contient l'origine, alors on peut définir une semi-norme asymétrique $p$ sur $\mathbb {R} ^{n}$ par la formule

$$p(x)=\max _{\varphi \in B^{*}}\langle \varphi ,x\rangle$$

pour $x\in \mathbb {R} ^{n}$. Par exemple, si $B^{*}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ est le carré ayant pour sommets $(\pm 1,\pm 1),$ alors $p$ est la norme 1 $x=\left(x_{0},x_{1}\right)\mapsto \left|x_{0}\right|+\left|x_{1}\right|.$ Des ensembles convexes différents donnent des semi-normes différentes et toute semi-norme asymétrique sur $\mathbb {R} ^{n}$ est déterminée par un ensemble convexe, appelé sa boule unité duale. Par conséquent, les semi-normes asymétriques sont en bijection avec les ensembles convexes qui contiennent l’origine. La semi-norme $p$ est

• définie positive si et seulement si l'origine appartient à l'intérieur topologique de $B^{*}$;
• dégénérée si et seulement si $B^{*}$ est contenu dans un sous-espace vectoriel de dimension strictement inférieure à $n$ ;
• symétrique si et seulement si $B^{*}=-B^{*}.$

Plus généralement, si $X$ est un espace vectoriel réel de dimension finie et si $B^{*}\subseteq X^{*}$ est une partie convexe compacte de l'espace dual $X^{*}$ qui contient l'origine, alors $p:x\mapsto \max _{\varphi \in B^{*}}\varphi (x)$ est une semi-norme asymétrique sur $X.$

Articles connexes

• Espace de Finsler : variété lisse dont tous les espaces tangents sont munis d'une fonctionnelle de Minkowski
• Fonctionnelle de Minkowski

Notes et références

• Cobzaş, « Compact operators on spaces with asymmetric norm », Stud. Univ. Babeş-Bolyai Math., vol. 51, n^o 4,‎ 2006, p. 69–87 (ISSN 0252-1938, MR 2314639)
• S. Cobzas, Functional Analysis in Asymmetric Normed Spaces, Frontiers in Mathematics, Basel: Birkhäuser, 2013; (ISBN 978-3-0348-0477-6).