Groupe totalement discontinu

En mathématiques, un groupe totalement discontinu est un groupe topologique totalement discontinu. De tels groupes topologiques sont nécessairement séparés.

L'intérêt se focalise sur les groupes localement compacts totalement discontinus (aussi appelés groupes de type td, groupes localement profinis ou groupes td). Le cas compact a été largement étudié – ce sont les groupes profinis – mais pendant longtemps on n'a pas su pas grand-chose du cas général. Un théorème de van Dantzig des années 1930, affirmant que tout groupe de ce type contient un sous-groupe ouvert compact, était tout ce qui était connu. Plus tard les travaux révolutionnaires de George Willis en 1994 ont ouvert le domaine en montrant que tout groupe localement compact totalement discontinu contient un sous-groupe dit bien rangé et une fonction particulière sur ses automorphismes, la fonction d'échelle, donnant un paramètre quantifiable de la structure locale. Des avancées portant sur la structure globale des groupes totalement disconnexes ont été obtenues en 2011 par Pierre-Emmanuel Caprace et Nicolas Monod, avec notamment une classification des groupes caractéristiquement simples et des groupes noethériens.

Cas localement compact

Dans un groupe localement compact et totalement discontinu, chaque voisinage de l'identité contient un sous-groupe ouvert compact. Réciproquement, si dans un groupe, l'identité a une base de voisinages formée de sous-groupes ouverts compacts, alors il est localement compact et totalement discontinu.

Sous-groupes bien rangés

Soient G un groupe localement compact et totalement discontinu, U un sous-groupe ouvert compact de G et $\alpha$ un automorphisme continu de G .

On note :

$U_{+}=\bigcap _{n\geq 0}\alpha ^{n}(U)$

$U_{-}=\bigcap _{n\geq 0}\alpha ^{-n}(U)$

$U_{++}=\bigcup _{n\geq 0}\alpha ^{n}(U_{+})$

$U_{--}=\bigcup _{n\geq 0}\alpha ^{-n}(U_{-})$

On dit que U es bien rangé pour $\alpha$ si $U=U_{+}U_{-}=U_{-}U_{+}$ et si $U_{++}$ et $U_{--}$ sont fermés.

La fonction d'échelle

L'indice de $\alpha (U_{+})$ dans $U_{+}$ est fini et indépendant de U qui est bien rangé pour $\alpha$. On définit la fonction d'échelle $s(\alpha )$ comme cet indice. La restriction aux automorphismes intérieurs donne une fonction sur G qui a des propriétés intéressantes. Pour x dans G, en notant $s(x)=s(\alpha _{x})$, où $\alpha _{x}:y\mapsto xyx^{-1}$ est l'automorphisme intérieur associé, on a notamment les propriétés suivantes :

• $s$ est continue ;
• $s(x)=1$, chaque fois que x dans G est un élément compact ;
• $s(x^{n})=s(x)^{n}$ pour tout entier naturel $n$ ;
• la fonction modulaire sur G est donnée par $\Delta (x)=s(x)s(x^{-1})^{-1}$.

Calculs et applications

La fonction d'échelle a été utilisée pour prouver une conjecture de Hofmann et Mukherja et a été explicitement calculée pour les groupes de Lie p-adiques et les groupes linéaires sur les corps gauches locaux par Helge Glöckner.

Bibliographie

• David van Dantzig, « Zur topologischen Algebra. III. Brouwersche und Cantorsche Gruppen », Compositio Mathematica, vol. 3,‎ 1936, p. 408-426 (lire en ligne)
• Armand Borel et Nolan Wallach, Continuous cohomology, discrete subgroups, and representations of reductive groups, vol. 67, Providence, Rhode Island, American Mathematical Society, coll. « Mathematical surveys and monographs », 2000 (ISBN 978-0-8218-0851-1, MR 1721403)
• Colin J. Bushnell et Guy Henniart, The local Langlands conjecture for GL(2), vol. 335, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] », 2006 (ISBN 978-3-540-31486-8, DOI 10.1007/3-540-31511-X, MR 2234120)
• « {{{1}}} »
• Pierre Cartier, « Representations of ${\mathfrak {p}}$-adic groups: a survey », dans Automorphic Forms, Representations, and L-Functions, vol. 33, Part 1, Providence, Rhode Island, American Mathematical Society, coll. « Proceedings of Symposia in Pure Mathematics », 1979 (ISBN 978-0-8218-1435-2, MR 0546593, lire en ligne), p. 111-155
• G. A. Willis, « The structure of totally disconnected, locally compact groups », Mathematische Annalen, vol. 300,‎ 1994, p. 341-363 (lire en ligne)