« Empilement de cercles » : différence entre les versions
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En géométrie, un empilement de cercles est un arrangement de cercles (de même taille ou de tailles variées) dans une surface donnée de telle sorte qu'aucun chevauchement ne se produise et qu'aucun cercle ne puisse être agrandi sans créer de chevauchement. La compacité η d'un empilement est la proportion de la surface couverte par les disques. Des généralisations peuvent être faites à des dimensions plus élevées – par exemple les empilements de sphères, qui ne traitent généralement que des sphères identiques.
La branche des mathématiques généralement connue sous le nom d' "empilements de cercles" concerne la géométrie et la combinatoire des empilements de cercles de taille arbitraire : ceux-ci donnent lieu à des analogues discrets de la cartographie conforme, des surfaces de Riemann et autres.
Empilement de cercles identiques le plus dense
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Dans le plan euclidien, Joseph Louis Lagrange a prouvé en 1773 que l'empilement de cercles identiques le plus dense est l'empilement hexagonal [1] : les centres des cercles sont disposés en un réseau hexagonal (rangées décalées, comme un nid d'abeille ), et chaque cercle est entouré de 6 autres cercles.
Autres empilements
À l'autre extrême, Böröczky a démontré qu'il existe des empilements de cercles de densité darbitrairement faible [2] [3].
Il existe 11 empilements de cercles basés sur les 11 pavages uniformes du plan . Dans ces empilements, chaque cercle peut être envoyé sur tous les autres par des réflexions et des rotations. Les espaces hexagonaux peuvent être remplis par un cercle et les espaces dodécagonaux peuvent être remplis par 7 cercles, créant des empilements 3-uniformes. Le pavage trihexagonal tronqué avec les deux types d'espaces peut être rempli pour donner un empilement 4-uniforme. Le pavage hexagonal snub a deux formes d'image miroir.
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Empilements de cercles identiques dans des domaines bornés
Empiler des cercles dans des domaines bornés simples est un type de problème courant en mathématiques récréatives. L'influence des parois du récipient est importante et le garnissage hexagonal n'est généralement pas optimal pour un petit nombre de cercles. Les problèmes spécifiques de ce type qui ont été étudiés comprennent :
- Empilements de cercles dans un cercle
- Empilements de cercles dans un carré
- Empilements de cercles dans un triangle équilatéral
- Emballage de cercles dans un triangle rectangle isocèle
Cercles de tailles distinctes
Il existe également une gamme de problèmes qui permettent aux tailles des cercles d'être non uniformes. Une de ces extensions consiste à trouver la densité maximale possible d'un système avec deux tailles de cercle spécifiques (un système binaire ). Seuls neuf rapports de rayon particuliers permettent un compactage compact, c'est-à-dire lorsque chaque paire de cercles en contact est en contact mutuel avec deux autres cercles (les segments de droite entre deux cercles en contact triangulent la surface) [4]. Pour tous ces rapports de rayon, on connaît un empilement compact qui atteint densité maximale possible (au-dessus de celle des disques de taille uniforme) pour des mélanges de disques avec ce rapport de rayon [6]. Tous les neuf ont des garnitures spécifiques au rapport plus denses que la garniture hexagonale uniforme, tout comme certains rapports de rayon sans empilements compacts [7].
Il est également connu que si le rapport de rayon est supérieur à 0,742, un mélange binaire ne peut pas mieux se tasser que des disques de taille uniforme [5]. Des limites supérieures pour la densité qui peuvent être obtenues dans de tels garnissages binaires à des rapports plus petits ont également été obtenues. [8]
Voir également
- Baderne d'Apollonius
- Distance d'inversion
- Conjecture de Kepler
- Cercles de Malfatti
- Problème d'emballage
Références
- (en) Auteur inconnu, « A Simple Proof of Thue's Theorem on Circle Packing », .
- Böröczky, « Über stabile Kreis- und Kugelsysteme », Annales Universitatis Scientiarum Budapestinensis de Rolando Eötvös Nominatae, Sectio Mathematica, vol. 7, , p. 79–82
- Kahle, « Sparse locally-jammed disk packings », Annals of Combinatorics, vol. 16, no 4, , p. 773–780 (DOI 10.1007/s00026-012-0159-0, S2CID 1559383)
- Tom Kennedy, « Compact packings of the plane with two sizes of discs », Discrete and Computational Geometry, vol. 35, no 2, , p. 255–267 (DOI 10.1007/s00454-005-1172-4, arXiv math/0407145, S2CID 11688453) Erreur de référence : Balise
<ref>incorrecte : le nom « Kennedy » est défini plusieurs fois avec des contenus différents. - Heppes, « Some Densest Two-Size Disc Packings in the Plane », Discrete and Computational Geometry, vol. 30, no 2, , p. 241–262 (DOI 10.1007/s00454-003-0007-6) Erreur de référence : Balise
<ref>incorrecte : le nom « Heppes » est défini plusieurs fois avec des contenus différents. - Bédaride et Fernique, Thomas, « Density of Binary Compact Disc Packings », {{Article}} : paramètre «
périodique» manquant, (arXiv 2002.07168) - Kennedy, « Circle Packings », (consulté le )
- de Laat, de Oliveira Filho, Fernando Mario et Vallentin, Frank, « Upper bounds for packings of spheres of several radii », Forum of Mathematics, Sigma, vol. 2, (DOI 10.1017/fms.2014.24, arXiv 1206.2608, S2CID 11082628)
Bibliographie
- Wells D, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York, Penguin Books, , 30–31, 167 (ISBN 0-14-011813-6, lire en ligne)
- Stephenson, « Circle Packing: A Mathematical Tale », Notices of the American Mathematical Society, vol. 50, no 11, (lire en ligne)
