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En mathématiques, la conjecture de Hilbert-Smith concerne les groupes de transformation des variétés ; et en particulier sur les groupes topologiques G agissant (fidèlement) sur une variété (topologique) M. En se restreignant aux groupes G localement compacts d'action de groupe continue et fidèle sur M, la conjecture énonce que G doit être un groupe de Lie.
Du fait des résultats de structures connus sur G, il suffit de traiter le cas où G est le groupe additif Zp des entiers p-adiques, pour un certain nombre premier p . Une forme équivalente de la conjecture est que Zp n'a pas d'action de groupe fidèle sur une variété topologique.
Les mathématiciens ayant donné leur nom à cette conjecture sont David Hilbert, et le topologue américain Paul A. Smith.[1] Elle est considéré par certains comme une meilleure formulation du cinquième problème de Hilbert.
En 1997, Dušan Repovš et Evgenij Ščepin ont prouvé la conjecture de Hilbert-Smith pour les groupes agissant par applications lipschitziennes sur une variété riemannienne en utilisant la théorie des revêtements, fractals et la théorie de la dimension cohomologique. [2]
En 1999, Gaven Martin a étendu leur argument de la théorie des dimensions aux actions quasi-conformes sur une variété riemannienne, et a donné des applications concernant l'unicité du prolongement analytique des systèmes de Beltrami. [3]
En 2013, John Pardon a prouvé le cas tridimensionnel de la conjecture de Hilbert-Smith. [4]
Références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hilbert–Smith conjecture » (voir la liste des auteurs).
- Paul A. Smith, Lectures in Topology, Ann Arbor, MI, University of Michigan Press, , 159–190 p., « Periodic and nearly periodic transformations »
- Repovš et Ščepin, « A proof of the Hilbert-Smith conjecture for actions by Lipschitz maps », {{Article}} : paramètre «
périodique» manquant, vol. 308, no 2, , p. 361–364 (DOI 10.1007/s002080050080) -
Martin, « The Hilbert-Smith conjecture for quasiconformal actions », {{Article}} : paramètre «
périodique» manquant, vol. 5, no 9, , p. 66–70 -
Pardon, « The Hilbert–Smith conjecture for three-manifolds », {{Article}} : paramètre «
périodique» manquant, vol. 26, no 3, , p. 879–899 (DOI 10.1090/s0894-0347-2013-00766-3, arXiv 1112.2324)