Surface de Peano

Maquette de la surface Peano de la collection Göttingen

En mathématiques, la surface de Peano est une surface quartique, le graphe de la fonction de deux variables

$f(x,y)=(2x^{2}-y)(y-x^{2}).$

Elle a été proposée par Giuseppe Peano en 1899 comme contre-exemple à critère conjecturé pour l'existence de maxima et de minima de fonctions de deux variables.

La surface a été nommée surface de Peano (en allemand : Peanosche Fläche ) par Georg Scheffers dans son livre de 1920 Lehrbuch der darstellenden Geometrie . Elle a également été appelée le col de Peano .

La fonction représentée graphiquement par cette surface est positive entre les deux paraboles $y=x^{2}$ et $y=2x^{2}$ et négative ailleurs. A l' origine, le point tridimensionnel $(0,0,0)$ sur la surface qui correspond au point d'intersection des deux paraboles, la surface a un point col . La surface elle-même a une courbure de Gauss positive dans certaines parties et une courbure négative dans d'autres, séparées par une autre parabole ce qui implique que sa carte de Gauss a une cuspide de Whitney .

Intersection de la surface de Peano avec un plan vertical. La courbe d'intersection a un maximum local à l'origine, à droite de l'image, et un maximum global à gauche de l'image, plongeant peu profondément entre ces deux points.

Chaque fois que la surface est intersectée par un plan vertical passant par l'origine, la courbe résultante dans le plan d'intersection a un maximum local en ce point. En termes plus paradoxaux, si un point commence à l'origine $(0,0)$ de l'avion, et s'éloigne de l'origine sur une ligne droite quelconque, la fonction $(2x^{2}-y)(y-x^{2})$ diminue au début de la motion. Néanmoins, $(0,0)$ n'est pas un maximum local de la fonction, car se déplacer le long d'une parabole comme $y={\sqrt {2}}\,x^{2}$ entraîne une augmentation de cette fonction.

Comme contre-exemple

En 1886, Joseph Alfred Serret publie un manuel avec une proposition de critères pour les points extrêmes d'une surface donnée par $z=f(x_{0}+h,y_{0}+k)$

"le maximum ou le minimum a lieu lorsque, pour les valeurs de $h$ et $k$ pour lesquelles $d^{2}f$ et $d^{3}f$ (les troisième et quatrième termes) s'annulent, $d^{4}f$ (le cinquième terme) a constamment le signe -, ou le signe +. "

Ici, on suppose que les termes linéaires s'annulent et que la série de Taylor de $f$ a la forme $z=f(x_{0},y_{0})+Q(h,k)+C(h,k)+F(h,k)+\cdots$ où $Q(h,k)$ est une forme quadratique comme $ah^{2}+bhk+ck^{2}$, $C(h,k)$ est une forme cubique avec des termes cubiques en $h$ et $k$, et $F(h,k)$ est une forme quartique avec un polynôme quartique homogène dans $h$ et $k$ . Serret propose que si $F(h,k)$ a un signe constant pour tous les points où $Q(h,k)=C(h,k)=0$ alors il y a un maximum ou un minimum local de la surface à $(x_{0},y_{0})$ .

Dans ses notes de 1884 au manuel italien d' Angelo Genocchi sur le calcul infinitésimal, Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale, Peano avait déjà fourni différentes conditions correctes pour qu'une fonction atteigne un minimum local ou un maximum local. Dans la traduction allemande de 1899 du même manuel, il a fourni cette surface comme contre-exemple à la condition de Serret. À ce point $(0,0,0)$, les conditions de Serret sont remplies, mais ce point est un point col et pas un maximum local. Une condition reliée à celle de Serret a également été critiquée par Ludwig Scheeffer (en) , qui a utilisé la surface de Peano comme contre-exemple dans une publication de 1890, a attribué à Peano.

Modèles

Des modèles de la surface de Peano font partie de la collection de modèles et d'instruments mathématiques à l' Université de Göttingen et dans la collection de modèles mathématiques de TU Dresden (en deux modèles différents). Le modèle Göttingen a été le premier modèle nouveau ajouté à la collection après la Première Guerre mondiale, et l'un des derniers ajoutés à la collection dans son ensemble.