Application de Gauss

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
L'application de Gauss définit une correspondance entre chaque point d'une courbe ou d'une surface et un point du cercle ou de la sphère unité

En géométrie différentielle classique, l'application de Gauss est une application naturelle différentiable sur une surface de \R^3, à valeurs dans la sphère unité S^2, et dont la différentielle permet d'accéder à la seconde forme fondamentale. Elle tient son nom du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss.

Application de Gauss[modifier | modifier le code]

Soit \Sigma une surface orientée de classe  C^{k+1} de \R^3.

Pour P un point de \Sigma, il existe un unique vecteur normal unitaire \Gamma(P) compatible avec l'orientation de \Sigma. L'application de Gauss est l'application de classe C^k :

\Gamma : \Sigma\rightarrow S^2.

On dispose d'une identification naturelle :

T_P\Sigma=T_{\Gamma(P)}S^2~.

Endomorphisme de Weingarten[modifier | modifier le code]

La différentielle de l'application de Gauss, vue comme opérateur linéaire de T_P\Sigma, est un opérateur symétrique (appelé endomorphisme de Weingarten (de)) dont la forme quadratique associée est la seconde forme fondamentale \mathrm I\!\mathrm I_P de \Sigma en P.

De manière plus précise, pour tout vecteur tangent w\in T_P\Sigma, on a :

\mathrm I\!\mathrm I_P(w)=-\langle d\Gamma(P)w|w \rangle.