En [[analyse (mathématiques)|analyse]] [[mathématique]], il existe plusieurs définitions de '''[[fonction gamma|fonctions gamma]] incomplètes'''<ref>{{Abramowitz et Stegun}}.</ref> : pour un paramètre [[Nombre complexe|complexe]] {{math|''a''}} de [[partie réelle]] strictement positive,
<center><math>\begin{align}
En mathématiques, il existe plusieurs définitions de '''[[fonction gamma|fonctions gamma]] incomplètes''' (liste à compléter) :
La [[dérivée]] de la fonction gamma incomplète {{math|Γ(''a'', ''x'')}} [[Dérivée partielle|par rapport à {{math|''x''}}]] est l'opposée de l'intégrande de sa définition intégrale :
La dérivée par rapport au paramètre {{math|''a''}} est donnée par<ref>{{en}} {{Lien|Keith Geddes|texte=K. O. Geddes}}, M. L. Glasser, R. A. Moore et T. C. Scott, « Evaluation of classes of definite integrals involving elementary functions via differentiation of special functions », ''AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing)'', vol. 1, 1990, {{p.|149-165}}, {{DOI|10.1007/BF01810298}}.</ref>
La [[dérivée]] de la fonction gamma incomplète <math> \Gamma (a,x) </math> par rapport à ''x'',fourniepar l'intégrande de sa définition intégrale, est :
La dérivée par rapport au paramètre ''a'' est fournie par<ref>K.O Geddes, M.L. Glasser, R.A. Moore et T.C. Scott, ''Evaluation of Classes of DefiniteIntegralsInvolvingElementaryFunctions via Differentiation of SpecialFunctions'', AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 1, (1990), {{p.|149-165}}, [http://www.springerlink.com/content/t7571u653t83037j/]
Ce cas particulier possède des propriétés internes de fermeture qui lui sont propres parce qu'il permet d'exprimer ''toutes'' les dérivées successives. En général,
Ce cas particulier possède des propriétés internes de fermeture qui lui sont propres parce qu'il permet d'exprimer ''toutes'' les dérivées successives. En général,
et pourvu que le paramètre ''a'' n'est pas un entier négatif ou zéro. Dans ce cas dernier, on doit employer une limite. Des résultats pour <math> |z|\ge 1 </math> peuvent être obtenus par le [[prolongement analytique]]. Quelques cas spéciaux de cette fonction peuvent être simplifiés. Par exemple,
et pourvu que le paramètre {{math|''a''}} ne soit pas un entier négatif ou nul. Dans ce dernier cas, on doit employer une limite. Des résultats pour {{math|{{!}}''z''{{!}} ≥ 1}} peuvent être obtenus par [[prolongement analytique]]. Quelques cas particuliers de cette fonction peuvent être simplifiés. Par exemple,
où <math> E_1 (x) </math> est l'[[exponentielle intégrale]]. Les dérivées et la fonction ''T(m,a,x)'' fournissent les solutions exactes à un certain nombre d'intégrales par la différentiation répétée de la définition intégrale de la fonction gamma incomplète <math> \Gamma (a,x) </math>. Par exemple,
où {{math|E{{ind|1}}}} est l'[[exponentielle intégrale]]. Les dérivées et la fonction {{math|''T''(''m'', ''a'', ''x'')}} fournissent les solutions exactes à un certain nombre d'intégrales par la différentiation répétée de la définition intégrale de la fonction gamma incomplète {{math|Γ(''a'', ''x'')}}. Par exemple,
Cette formule peut être "gonflée" davantage ou généralisée à une classe considérable de [[Transformée de Laplace|transformées de Laplace]] ou de [[Transformation de Mellin|Mellin]]. Une fois combinée avec un [[système de calcul formel]], l'exploitation des fonctions spéciales fournit une méthode puissante pour résoudre des intégrales définies, en particulier celles rencontrées par les applications pratiques des ingénieurs. Cette méthode fut inventée par les réalisateurs du système [[Maple]]<ref>K.O. Geddes et T.C. Scott, ''Recipes for Classes of Definite Integrals Involving Exponentials and Logarithms'', Proceedings of the 1989 Computers and Mathematics conference, (tenu à MIT June 12, 1989), édité par E. Kaltofen et S.M. Watt, Springer-Verlag, New York, (1989), {{p.|192-201}}. [http://portal.acm.org/citation.cfm?id=93094]</ref> et alors plus tard émulée par [[Mathematica]], [[MuPAD]] et d'autres systèmes. La fonction ''T(m,a,x)'' fut connue dans le groupe de recherche [[Maple]] comme la fonction de Scott-G.
Cette formule peut être "gonflée" davantage ou généralisée à une classe considérable de [[Transformée de Laplace|transformées de Laplace]] ou [[Transformation de Mellin|de Mellin]]. Une fois combinée avec un [[système de calcul formel]], l'exploitation des fonctions spéciales fournit une méthode puissante pour résoudre des intégrales définies, en particulier celles rencontrées par les applications pratiques des ingénieurs.
{{Chapitre|lang=en|auteur=K. O. Geddes|auteur2=T. C. Scott|titre=Recipes for classes of definite integrals involving exponentials and logarithms|titre ouvrage=Computers and Mathematics|auteurs ouvrage=E. Kaltofen et S. M. Watt|éditeur=Springer-Verlag|year=1989|page=192-201|doi=10.1007/978-1-4613-9647-5_24}}
Ce cas particulier possède des propriétés internes de fermeture qui lui sont propres parce qu'il permet d'exprimer toutes les dérivées successives. En général,
Toutes ces dérivées peuvent être produites à partir de
et
Cette fonction T(m, a, x) peut être calculée par sa représentation en série, valide pour |z| < 1 :
et pourvu que le paramètre a ne soit pas un entier négatif ou nul. Dans ce dernier cas, on doit employer une limite. Des résultats pour |z| ≥ 1 peuvent être obtenus par prolongement analytique. Quelques cas particuliers de cette fonction peuvent être simplifiés. Par exemple,
où E1 est l'exponentielle intégrale. Les dérivées et la fonction T(m, a, x) fournissent les solutions exactes à un certain nombre d'intégrales par la différentiation répétée de la définition intégrale de la fonction gamma incomplète Γ(a, x). Par exemple,
Cette formule peut être "gonflée" davantage ou généralisée à une classe considérable de transformées de Laplace ou de Mellin. Une fois combinée avec un système de calcul formel, l'exploitation des fonctions spéciales fournit une méthode puissante pour résoudre des intégrales définies, en particulier celles rencontrées par les applications pratiques des ingénieurs.
↑(en) K. O. Geddes(en), M. L. Glasser, R. A. Moore et T. C. Scott, « Evaluation of classes of definite integrals involving elementary functions via differentiation of special functions », AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 1, 1990, p. 149-165, DOI10.1007/BF01810298.
Bibliographie
(en) K. O. Geddes et T. C. Scott, « Recipes for classes of definite integrals involving exponentials and logarithms », dans E. Kaltofen et S. M. Watt, Computers and Mathematics, Springer-Verlag, (DOI10.1007/978-1-4613-9647-5_24), p. 192-201