Opérateur différentiel

Un opérateur différentiel est un opérateur agissant sur des fonctions différentiables.

• Lorsque la fonction est à une seule variable, l'opérateur différentiel est construit à partir des dérivées ordinaires.

• Lorsque la fonction est à plusieurs variables, l'opérateur différentiel est construit à partir des dérivées partielles.

Notations

Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb {R} ^{n}$, et $x$ un point de $\Omega$. On introduit les $n$ coordonnées $x_{k}{\mbox{ }}(k=1,...,n)$. Supposons que l'on ait une fonction des $n$ variables : $x_{k}$.

Dérivées du premier ordre

Pour simplifier les écritures, on note usuellement la dérivée partielle première par rapport à la coordonnée $x_{k}$ par le symbole :

$\partial _{k}\ =\ {\frac {\partial ~~}{\partial x_{k}}}$

On est également amené à introduire l'opérateur différentiel $\mathrm {D} _{k}$ du premier ordre défini par :

$\mathrm {D} _{k}\ =\ -\ i\ \partial _{k}\ =\ -\ i\ {\frac {\partial ~~}{\partial x_{k}}}$

Dans cette définition, $i$ est la « racine de l'unité » complexe : $i^{2}=-1$. L'intérêt de définir cet opérateur $\mathrm {D} _{k}$ apparaitra plus tard, en relation avec la transformée de Fourier.

On utilise les notations sous forme de multi-indices : un multi-indice $\alpha$ est un $n$-uplet d'entiers

$\alpha \ =\ \left(\alpha _{1},\ \dots ,\ \alpha _{n}\right)\ ;\quad \ \alpha _{k}\,\in \,\mathbb {N}$

Sa longueur $|\alpha |$ est définie comme la somme des $\alpha _{i}$ et on définit enfin la multi-factorielle :

$\alpha \,!\ =\ \prod _{k=1}^{n}(\,\alpha _{k}\,!\,)\ =\ \alpha _{1}\,!\ \times \ \dots \ \times \ \alpha _{n}\,!$

Dérivées d'ordres plus élevés

• La dérivée partielle d'ordre $\alpha _{k}$ par rapport à la coordonnée $x_{k}$ correspond au symbole :$\partial _{k}^{\alpha _{k}}$
• On définit alors les dérivées partielles, d'ordre global $|\alpha |$ :$\partial ^{\alpha }\ =\ \partial _{1}^{\alpha _{1}}\ \dots \ \partial _{n}^{\alpha _{n}}$
• Et les opérateurs différentiels $\mathrm {D} ^{\alpha }$, d'ordre global $|\alpha |$  : $\mathrm {D} ^{\alpha }\ =\ \mathrm {D} _{1}^{\alpha _{1}}\ \dots \ \mathrm {D} _{n}^{\alpha _{n}}$

Définition d'un opérateur différentiel

Définition

Un opérateur différentiel linéaire d'ordre $m$ est défini par :

${\mathfrak {D}}\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \mathrm {D} ^{\alpha }$

où les $a_{\alpha }(x)$ sont des fonctions de $n$ variables, appelées coefficients de l'opérateur ${\mathfrak {D}}$.

Propriété de localité

Un opérateur différentiel ${\mathfrak {D}}$ est local au sens où, pour déterminer ses effets ${\mathfrak {D}}\,f(x)$ sur une fonction $f(x)$ suffisamment différentiable, seule la connaissance de la fonction dans le voisinage du point $x$ est nécessaire.

Transformée de Fourier

Introduction de la transformée de Fourier

On définit ici la transformée de Fourier de la fonction $f(x)$ de $n$ variables $x_{k}{\mbox{ }}(k=1,...,n)$ par :

${\hat {f}}(\xi )\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} x\ e^{-\,i\,<\,\xi \,,\,x\,>}\ f(x)$

Dans cette définition :

• on note $\xi$ le $n$-uplet constitué des variables : $\xi _{k}{\mbox{ }}(k=1,...,n)$.
• la mesure est : $\mathrm {d} x=\prod _{k=1}^{n}\mathrm {d} x_{k}$.
• le facteur $<\xi \,,\,x>$ dans l'exponentielle oscillante désigne le produit scalaire :$<\xi \,,\,x>=\sum _{k=1}^{n}x_{k}\,\xi _{k}$.

La formule de transformation inverse s'écrit alors :

$f(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ e^{+\,i\,<\,\xi ,\,x\,>}\ {\hat {f}}(\xi )$

où la mesure est : $\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ =\ {\frac {\mathrm {d} \xi }{(2\pi )^{n}}}\quad$ avec $\mathrm {d} \xi =\prod _{k=1}^{n}\mathrm {d} \xi _{k}$.

Application aux opérateurs différentiels

Appliquons l'opérateur différentiel $\mathrm {D} _{k}=-\,i\,\partial _{k}$ à la représentation de Fourier de la fonction $f(x)$. En supposant qu'on puisse intervertir la dérivation et l'intégration, on obtient :

$\mathrm {D} _{k}\,f(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \left(\ -\ i\ \partial _{k}\ e^{+\,i\,<\,\xi \,,\,x\,>}\ \right)\ {\hat {f}}(\xi )\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ e^{+\,i\,<\,\xi \,,\,x\,>}\ \xi _{k}\ {\hat {f}}(\xi )$

qu'on peut écrire : $({\widehat {\mathrm {D} _{k}\,f}})(\xi )=\xi _{k}\ {\hat {f}}(\xi )$. On en déduit que :

$({\widehat {\mathrm {D} ^{\alpha }\,f}})(\xi )\ =\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )$

où : $\xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\ \times \ \dots \ \times \ \xi _{n}^{\alpha _{n}}$. L'opérateur différentiel ${\mathfrak {D}}$ d'ordre $m$ vérifie donc la relation :

$({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ e^{+\,i\,<\,\xi \,,\,x\,>}\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )$

On peut intervertir la somme et l'intégrale pour écrire :

$({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ e^{+\,i\,<\,\xi \,,\,x\,>}\ \left(\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \xi ^{\alpha }\ \right)\ {\hat {f}}(\xi )$

Symbole d'un opérateur différentiel

On appelle symbole de l'opérateur différentiel ${\mathfrak {D}}$ d'ordre $m$ la fonction $\sigma (x,\xi )$ des $2n$ variables $(x,\xi )$ polynomiale en $\xi$ de degré $m$ :

$\sigma (x,\xi )=\sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \xi ^{\alpha }$

de telle sorte que :

$({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ e^{+\,i\,<\,\xi \,,\,x\,>}\ \sigma (x,\xi )\ {\hat {f}}(\xi )$

On constate que cette formule pourrait en fait permettre de définir l'opérateur ${\mathfrak {D}}$ à partir de son symbole $\sigma$. Cette idée sera mise à profit dans la théorie des opérateurs pseudo-différentiels.

Attention : pour un opérateur différentiel dont les coefficients $a_{\alpha }(x)$ ne sont pas constants, le symbole $\sigma (x,\xi )$ dépend des coordonnées d'espace $x$, et l'expression $\sigma (x,\xi )\,{\hat {f}}(\xi )$ n'est pas la transformée de Fourier de $({\mathfrak {D}}\,f)(x)$, c’est-à-dire que :

$({\widehat {{\mathfrak {D}}\,f}})(\xi )\ \neq \ \sigma (x,\xi )\ {\hat {f}}(\xi )$

La formule correcte de la transformée de Fourier est calculée dans le paragraphe « Cas général ».

Symbole principal d'un opérateur différentiel

On appelle symbole principal de l'opérateur différentiel ${\mathfrak {D}}$ d'ordre $m$ la fonction  :

$\sigma _{m}(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}\ a_{\alpha }(x)\ \xi ^{\alpha }$

Classification des opérateurs différentiels

Opérateur elliptique

L'opérateur différentiel ${\mathfrak {D}}$ est dit elliptique au point $x\ \in \ \Omega$ si et seulement si :

$\forall \ \xi \ \in \ \mathbb {R} ^{n}\backslash \{0\}\ ,\quad \sigma _{m}(x,\xi )\ \neq \ 0$

${\mathfrak {D}}$ est dit elliptique dans $\Omega$ s'il est elliptique pour tout point $x\ \in \ \Omega$.

Opérateur hyperbolique

L'opérateur différentiel ${\mathfrak {D}}$ est dit hyperbolique dans la direction $\eta$ au point $x\ \in \ \Omega$ si et seulement si : $\sigma _{m}(x,\eta )\neq 0$ et si, pout tout $\xi$ non colinéaire à $\eta$, les racines $\lambda _{i}$ de l'équation :

$\sigma _{m}(x,\ \xi \ +\ \lambda \,\eta )\ =\ 0$

sont toutes réelles. Si, de plus, les $m$ racines réelles sont toutes distinctes, l'opérateur ${\mathfrak {D}}$ est dit strictement hyperbolique dans la direction $\eta$.

${\mathfrak {D}}$ est dit (strictement) hyperbolique dans la direction $\eta$ dans $\Omega$ s'il est strictement hyperbolique dans la direction $\eta$ pour tout point $x\ \in \ \Omega$.

Exemples importants pour la physique théorique

La physique théorique fait un usage abondant de trois opérateurs d'ordre 2 :

Opérateur laplacien

L'opérateur laplacien est un opérateur elliptique, qui s'écrit :

• en coordonnées cartésiennes dans $\mathbb {R} ^{n}$ :$\Delta \ =\ \sum _{k=1}^{n}\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial x_{k}^{2}}}$

• soit en coordonnées cartésiennes tridimensionnelles :$\Delta \ =\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial x^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial y^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial z^{2}}}$

Cet opérateur est notamment utilisé en mécanique newtonienne, en électromagnétisme, et en mécanique quantique non relativiste.

Opérateur d'alembertien

L'opérateur d'alembertien est un opérateur hyperbolique, qui s'écrit en coordonnées cartésiennes $(x,t)$ dans $\mathbb {R} ^{n+1}$ :

$\Box \ =\ {\frac {1}{c^{2}}}\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial t^{2}}}\ -\ \Delta$

où $\Delta$ est le laplacien à $n$ variables d'espace, $t$ est le temps, et $c$ une constante positive, homogène à une vitesse. Cet opérateur est utilisé pour décrire la propagation des ondes à la vitesse $c$ dans l'espace-temps. Il est notamment utilisé en acoustique, en électromagnétisme, et en théorie quantique des champs.

Opérateur de la chaleur

L'opérateur de la chaleur, qui s'écrit en coordonnées cartésiennes $(x,t)$ dans $\mathbb {R} ^{n+1}$ :

${\frac {\partial ~}{\partial t}}\ -\ {\tilde {D}}\ \Delta$

où $\Delta$ est le laplacien à $n$ variables d'espace, $t$ est le temps, et ${\tilde {D}}$ est ici une constante, appelée coefficient de diffusion. Cet opérateur est dit parabolique.

Opérateur différentiel à coefficients constants

Si les coefficients $a_{\alpha }$ sont indépendants des $n$ variables d'espace $x^{k}$, le symbole de l'opérateur différentiel ${\mathfrak {D}}$ d'ordre $m$ est seulement une fonction $\sigma (\xi )$ des $n$ variables $\xi$ polynomiale en $\xi$ :

$\sigma (\xi )=\sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }\ \xi ^{\alpha }$

de telle sorte que :

$({\widehat {{\mathfrak {D}}\,f}})(\xi )\ =\ \sigma (\xi )\ {\hat {f}}(\xi )$

Le symbole principal de l'opérateur différentiel ${\mathfrak {D}}$ d'ordre $m$ à coefficients constants est la fonction des $n$ variables $\xi$ :

$\sigma _{m}(\xi )=\sum _{|\alpha |=m}\ a_{\alpha }\ \xi ^{\alpha }$

Cas général

On a vu que plus haut :

$({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ e^{+\,i\,<\,\xi \,,\,x\,>}\ \sigma (x,\xi )\ {\hat {f}}(\xi )$

Pour un opérateur différentiel dont les coefficients $a_{\alpha }(x)$ ne sont pas constants, le symbole $\sigma (x,\xi )$ dépend des coordonnées d'espace $x$, et on a  :

$({\widehat {{\mathfrak {D}}\,f}})(\xi )\ \neq \ \sigma (x,\xi )\ {\hat {f}}(\xi )$

Expression de la transformée de Fourier

Partons de la relation générale :

$({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ e^{+\,i\,<\,\xi \,,\,x\,>}\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )$

Si l'on introduit la transformée de Fourier des coefficients :

$a_{\alpha }(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\eta }}\ e^{+\,i\,<\,\eta \,,\,x\,>}\ {\hat {a}}_{\alpha }(\eta )$

on obtient :

$({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\eta }}\ e^{+\,i\,<\,\eta \,,\,x\,>}\ {\hat {a}}_{\alpha }(\eta )\ \times \ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ e^{+\,i\,<\,\xi \,,\,x\,>}\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )$

soit :

$({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\eta }}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ e^{+\,i\,<\,(\xi +\eta )\,,\,x\,>}\ {\hat {a}}_{\alpha }(\eta )\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )$

A $\xi$ fixé, on fait le changement de variable : $\eta \to t=\xi +\eta$, ce qui donne :

$({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {t}}\ e^{+\,i\,<\,t\,,\,x\,>}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ {\hat {a}}_{\alpha }(t-\xi )\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )$

On reconnait le produit de convolution :

$\left(\,{\hat {a}}_{\alpha }\ *\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}\,\right)(t)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ {\hat {a}}_{\alpha }(t-\xi )\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )$

d'où :

$({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {t}}\ e^{+\,i\,<\,t\,,\,x\,>}\ \left(\,{\hat {a}}_{\alpha }\ *\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}\,\right)(t)$

qu'on peut réécrire :

$({\widehat {{\mathfrak {D}}\,f}})(\xi )\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \left(\,{\hat {a}}_{\alpha }\ *\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}\,\right)(\xi )$

Voir aussi

• Opérateur pseudo-différentiel
• Dérivée partielle
• Équation aux dérivées partielles
• Principe fondamental d'Ehrenpreis

Bibliographie

• (en) Lars Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1983-1985. Traité de référence en quatre volumes, par le récipiendaire de la médaille Fields 1962. Le volume I est sous-titré : Distribution theory and Fourier analysis, et le volume II : Differential operators with constant coefficients. Les volumes III et IV sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.
• (en) Lars Hörmander, Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1963. Ce livre contient les travaux pour lesquels l'auteur a obtenu la médaille Fields en 1962.
• (en) Yu. V. Egorov et M. A. Shubin (en), Foundations of the Classical Theory of Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 2^e éd., 1998 (ISBN 3-540-63825-3). Premier volume d'une série qui en comporte neuf, écrits pour l'Encylopaedia of Mathematical Sciences. Les volumes suivants sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.
• (en) Michael E. Taylor (en), Partial Differential Equations - Basic Theory, coll. « Texts in Applied Mathematics » (n^o 23), Springer-Verlag, 2^e éd., 1999 (ISBN 0-387-94654-3). Premier volume d'une série qui en comporte trois. Les volumes suivants sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.