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Illustration du modèle de Jaynes-Cumming. Dans le cercle, l'émission et l'absorption d'un photon sont montrées.

Le Modèle de Jaynes-Cummings (MJC) est un modèle théorique en Optique quantique. Il décrit un système formé d'un atome à deux niveaux en interaction avec un mode quantifié d'une cavité optique, avec ou sans présence de lumière (sous la forme d'un bain de radiation électromagnétique pouvant causer de l'absorption ou de l'émission spontanée). Le MJC est d'un grand intérêt en Physique atomique, en optique quantique, ainsi qu'en information quantique en circuit, et ce, autant expérimentalement que théoriquement

Historique

Ce modèle a été proposé à l'origine par Edwin Jaynes et Fred Cummings en 1963 dans le but d'étudier la relation entre la théorie quantique de la radiation et la théorie semi-classique dans la description du phénomène de l'émission spontanée.

Selon la théorie semi-classique de l'interaction entre le champ électromagnétique et l'atome, seul l'atome est quantifié et le champ est une fonction du temps plutôt qu'un opérateur. Cette théorie peut expliquer plusieurs phénomènes observables en optique moderne, comme l'existence des oscillations de Rabi dans les probabilités d'excitation atomique pour des champs avec une énergie précisément définie. Le modèle de Jaynes-Cummings est utile pour voir comment la quantification des niveaux d'énergie du champ électromagnétique affecte les prédictions pour l'évolution de l'état d'un système à 2 niveaux en comparaison avec la théorie semi-classique de l'interaction lumière-matière. Il a été découvert plus tard que la résurgence de l'inversion de population atomique après son effondrement est une conséquence directe de la discrétisation des états du champ (photons). Il s'agit d'un effet purement quantique qui peut être décrit par le MJC, mais pas par la théorie semi-classique.

Vingt-quatre ans plus tard, en 1987, une belle démonstration de l'effondrement et de la résurgence des oscillations quantiques a été observée dans un maser mono-atomique par Rempe, Walther et Klein

Avant cette expérience, les groupes de recherche étaient incapables de fabriquer un montage expérimental capable d'améliorer le couplage d'un atome avec un seul mode du champ et de simultanément supprimer le couplage aux autres modes. Expérimentalement, le facteur de qualité de la cavité doit être suffisamment élevé pour considérer que la dynamique du système est équivalente à la dynamique d'un seul mode. Avec l'arrivée des masers à un atome, il était alors possible d'étudier l'interaction d'un seul atome (habituellement un atome de Rydberg) avec un seul mode du champ électromagnétique dans la cavité d'un point de vue expérimental, et étudier divers aspects du modèle de Jaynes-Cummings. and study different aspects of the JCM.

To observe strong atom-field coupling in visible light frequencies hour-glass-type optical modes can be helpful because of their large mode volume that eventually coincides with a strong field inside the cavity.

Pour observer un fort couplage lumière-matière dans les fréquences de la lumière visible, des modes optiques de type sablier peuvent être utiles car le large volume occupé par ce mode peut éventuellement coïncider avec un fort champ dans la cavité.

Un point quantique dans une nano-cavité est aussi un système prometteur pour observer des effondrements et résurgences des oscillations de Rabi dans les fréquences visibles.

In order to more precisely describe the interaction between an atom and a laser field, the model is generalized in different ways. Some of the generalizations are applying initial conditions,

Pour avoir une description plus précise de l'interaction entre un atome et un laser, le modèle est généralisée de différentes façons. Ces généralisations comprennent l'application des conditions initiales, l'insertion de la dissipation et de l'amortissement dans le modèle, l'utilisation d'atomes à plusieurs niveaux, de plusieurs atomes, consideration of multilevel atoms and multiple atoms, and multi-mode description of the field. ainsi que d'une description à plusieurs modes du champ électromagnétique.

Il a aussi été découvert que durant les oscillations de Rabi, l'atome et le champ existent dans une superposition macroscopique d'états (état chat). Cette découverte offre l'opportunité d"utiliser le MJC pour comprendre les propriétés de base des corrélations quantiques (enchevêtrement), It was also discovered that during the quiescent intervals of collapsed Rabi oscillations the atom and field exist in a macroscopic superposition state (a Schrödinger cat). This discovery offers the opportunity to use the JCM to elucidate the basic properties of quantum correlation (entanglement). Dans un autre article, le MJC est utilisé pour modéliser le transfert d'information quantique.

Formulation

L'Hamiltonien qui décrit le système complet,

${\hat {H}}={\hat {H}}_{\text{champ}}+{\hat {H}}_{\text{atome}}+{\hat {H}}_{\text{int}}$

consists of the free field Hamiltonian, the atomic excitation Hamiltonian, and the Jaynes–Cummings interaction Hamiltonian: consiste en l'Hamiltonien du champ, celui de l'excitation atomique et de l'interaction Jaynes-Cummings.

${\begin{aligned}{\hat {H}}_{\text{champ}}&=\hbar \omega _{c}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\\{\hat {H}}_{\text{atome}}&=\hbar \omega _{a}{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}\\{\hat {H}}_{\text{int}}&={\frac {\hbar \Omega }{2}}{\hat {E}}{\hat {S}}.\end{aligned}}$

We have set the zero field energy to zero for convenience. Nous avons posé l'énergie du vide à zéro par commodité.

For deriving the JCM interaction Hamiltonian the quantized radiation field is taken to consist of a single bosonic mode with the field operator ${\hat {E}}={\hat {a}}+{\hat {a}}^{\dagger }$, where the operators ${\hat {a}}^{\dagger }$ and ${\hat {a}}$ are the bosonic creation and annihilation operators and $\omega _{c}$ is the angular frequency of the mode. On the other hand, the two-level atom is equivalent to a spin-half whose state can be described using a three-dimensional Bloch vector. (It should be understood that "two-level atom" here is not an actual atom with spin, but rather a generic two-level quantum system whose Hilbert space is isomorphic to a spin-half.) The atom is coupled to the field through its polarization operator ${\hat {S}}={\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {\sigma }}_{-}$. The operators ${\hat {\sigma }}_{+}=|e\rangle \langle g|$ and ${\hat {\sigma }}_{-}=|g\rangle \langle e|$ are the raising and lowering operators of the atom. The operator ${\hat {\sigma }}_{z}=|e\rangle \langle e|-|g\rangle \langle g|$ is the atomic inversion operator, and $\omega _{a}$ is the atomic transition frequency.

Pour dériver l'Hamiltonien d'interaction dans le modèle Jaynes-Cummings, on suppose que le champ quantifié consiste en un seul mode (bosonique) avec l'opérateur de champ ${\hat {E}}={\hat {a}}+{\hat {a}}^{\dagger }$, où les opérateurs ${\hat {a}}^{\dagger }$ et ${\hat {a}}$ sont les opérateurs d'échelle bosoniques et $\omega _{c}$ est la fréquence angulaire du mode. D'un autre côté, l'atome à deux niveaux est équivalent à un spin 1/2 dont l'état peut être décrit par un

/////////////////////CONITUNUE ICI

JCM Hamiltonian

Moving from the Schrödinger picture into the interaction picture (aka rotating frame) defined by the choice $H_{0}={\hat {H}}_{\text{field}}+{\hat {H}}_{\text{atom}}$, we obtain

${\hat {H}}_{\text{int}}(t)={\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{-}e^{-i(\omega _{c}+\omega _{a})t}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{+}e^{i(\omega _{c}+\omega _{a})t}+{\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}e^{i(-\omega _{c}+\omega _{a})t}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}e^{-i(-\omega _{c}+\omega _{a})t}\right).$

This Hamiltonian contains both quickly $(\omega _{c}+\omega _{a})$ and slowly $(\omega _{c}-\omega _{a})$ oscillating components. To get a solvable model, when $|\omega _{c}-\omega _{a}|\ll \omega _{c}+\omega _{a}$ the quickly oscillating "counter-rotating" terms can be ignored. This is referred to as the rotating wave approximation. Transforming back into the Schrödinger picture the JCM Hamiltonian is thus written as

${\hat {H}}_{\text{JC}}=\hbar \omega _{c}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\hbar \omega _{a}{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}+{\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}\right).$

Eigenstates

It is possible, and often very helpful, to write the Hamiltonian of the full system as a sum of two commuting parts:

${\hat {H}}_{\text{JC}}={\hat {H}}_{I}+{\hat {H}}_{II}$

where

${\begin{aligned}{\hat {H}}_{I}&=\hbar \omega _{c}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}\right)\\{\hat {H}}_{II}&=\hbar \delta {\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}+{\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}\right)\end{aligned}}$

with $\delta =\omega _{a}-\omega _{c}$ called the detuning (frequency) between the field and the two-level system.

The eigenstates of ${\hat {H}}_{I}$, being of tensor product form, are easily solved and denoted by $|n,g\rangle ,|n,e\rangle$, where $n\in \mathbb {N}$ denotes the number of radiation quanta in the mode.

As the states $|\psi _{1n}\rangle :=|n,e\rangle$ and $|\psi _{2n}\rangle :=|n+1,g\rangle$ are degenerate with respect to ${\hat {H}}_{I}$ for all $n$, it is enough to diagonalize ${\hat {H}}_{\text{JC}}$ in the subspaces ${\text{span}}\{|\psi _{1n}\rangle ,|\psi _{2n}\rangle \}$. The matrix elements of ${\hat {H}}_{\text{JC}}$ in this subspace, ${H}_{ij}^{(n)}:=\langle \psi _{in}|{\hat {H}}_{\text{JC}}|\psi _{jn}\rangle ,$ read

$H^{(n)}=\hbar {\begin{pmatrix}n\omega _{c}+{\frac {\omega _{a}}{2}}&{\frac {\Omega }{2}}{\sqrt {n+1}}\\[8pt]{\frac {\Omega }{2}}{\sqrt {n+1}}&(n+1)\omega _{c}-{\frac {\omega _{a}}{2}}\end{pmatrix}}$

For a given $n$, the energy eigenvalues of $H^{(n)}$ are

$E_{\pm }(n)=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pm {\frac {1}{2}}\hbar \Omega _{n}(\delta ),$

where $\Omega _{n}(\delta )={\sqrt {\delta ^{2}+\Omega ^{2}(n+1)}}$ is the Rabi frequency for the specific detuning parameter. The eigenstates $|n,\pm \rangle ~$ associated with the energy eigenvalues are given by

$|n,+\rangle =\cos \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{1n}\rangle +\sin \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{2n}\rangle$

$|n,-\rangle =-\sin \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{1n}\rangle +\cos \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{2n}\rangle$

where the angle $\alpha _{n}$ is defined through $\alpha _{n}:=\tan ^{-1}\left({\frac {\Omega {\sqrt {n+1}}}{\delta }}\right)$

Schrödinger picture dynamics

It is now possible to obtain the dynamics of a general state by expanding it on to the noted eigenstates. We consider a superposition of number states as the initial state for the field, $~|\psi _{\text{field}}(0)\rangle =\sum _{n}{C_{n}|n\rangle }~$, and assume an atom in the excited state is injected into the field. The initial state of the system is

$|\psi _{\text{tot}}(0)\rangle =\sum _{n}C_{n}\left[\cos \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|n,+\rangle -\sin \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|n,-\rangle \right].$

Since the $~|n,\pm \rangle ~$ are stationary states of the field-atom system, then the state vector for times $~t>0~$ is just given by

$|\psi _{\text{tot}}(t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }|\psi _{\text{tot}}(0)\rangle =\sum _{n}C_{n}\left[\cos \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|n,+\rangle e^{-iE_{+}(n)t/\hbar }-\sin \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|n,-\rangle e^{-iE_{-}(n)t/\hbar }\right].$

The Rabi oscillations can readily be seen in the sin and cos functions in the state vector. Different periods occur for different number states of photons. What is observed in experiment is the sum of many periodic functions that can be very widely oscillating and destructively sum to zero at some moment of time, but will be non-zero again at later moments. Finiteness of this moment results just from discreteness of the periodicity arguments. If the field amplitude were continuous, the revival would have never happened at finite time.

Heisenberg picture dynamics

It is possible in the Heisenberg notation to directly determine the unitary evolution operator from the Hamiltonian:

${\begin{matrix}{\begin{aligned}{\hat {U}}(t)&=e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }\\&={\begin{pmatrix}e^{-i\omega _{c}t({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}})}\left(\cos t{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}-i\delta /2{\frac {\sin t{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}\right)&-ige^{-i\omega _{c}t({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}})}{\frac {\sin t{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}\,{\hat {a}}\\-ige^{-i\omega _{c}t({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}-{\frac {1}{2}})}{\frac {\sin t{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\hat {a}}^{\dagger }&e^{-i\omega _{c}t({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}-{\frac {1}{2}})}\left(\cos t{\sqrt {\hat {\varphi }}}+i\delta /2{\frac {\sin t{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\sqrt {\hat {\varphi }}}}\right)\end{pmatrix}}\end{aligned}}\end{matrix}}$

where the operator $~{\hat {\varphi }}~$ is defined as

${\hat {\varphi }}=g^{2}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\delta ^{2}/4$

The unitarity of $~{\hat {U}}~$ is guaranteed by the identities

${\frac {\sin t\,{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}\;{\hat {a}}={\hat {a}}\;{\frac {\sin t\,{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\sqrt {\hat {\varphi }}}},$

$\cos t\,{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}\;{\hat {a}}={\hat {a}}\;\cos t{\sqrt {\hat {\varphi }}},$

and their Hermitian conjugates.

By the unitary evolution operator one can calculate the time evolution of the state of the system described by its density matrix $~{\hat {\rho }}(t)~$, and from there the expectation value of any observable, given the initial state:

${\hat {\rho }}(t)={\hat {U}}^{\dagger }(t){\hat {\rho }}(0){\hat {U}}(t)$

$\langle {\hat {\Theta }}\rangle _{t}={\text{Tr}}[{\hat {\rho }}(t){\hat {\Theta }}]$

The initial state of the system is denoted by $~{\hat {\rho }}(0)~$ and $~{\hat {\Theta }}~$ is an operator denoting the observable.

Collapses and revivals of quantum oscillations

The plot of quantum oscillations of atomic inversion (for quadratic scaled detuning parameter $a=(\delta /(2g))^{2}=40$, where $\delta$ is the detuning parameter) was built on the basis of formulas obtained by A.A. Karatsuba and E.A. Karatsuba.

Further reading

• C.C. Gerry and P.L. Knight (2005). Introductory Quantum Optics, Cambridge: Cambridge University Press.
• M. O. Scully and M. S. Zubairy (1997), Quantum Optics, Cambridge: Cambridge University Press.
• D. F. Walls and G. J. Milburn (1995), Quantum Optics, Springer-Verlag.

See also

• Rabi problem
• Vacuum Rabi oscillation
• Spontaneous emission
• Jaynes-Cummings-Hubbard model

References

{{DEFAULTSORT:Jaynes-Cummings model}} [[Category:Quantum optics]]