Utilisateur:Olivier.simard2/Brouillon

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Les fonctions de Green de Matsubara constituent des objets mathématiques utiles à l'approche diagrammatique de la théorie des champs quantiques à température finie. Généralement, la fonction de Green est la solution élémentaire d'une équation linéaire différentielle à coefficients constants. Il s'agira de motiver le formalisme encadrant la fonction de Green de Matsubara afin d'aboutir à une forme explicite caractérisant cet outil.

Opérateur d'évolution

On entame le développement en introduisant la représentation de Heisenberg ainsi que la représentation d'interaction. On considère un hamiltonien H de la forme $H=H_{0}+V$, où $H_{0}$ décrit le hamiltonien à l'équilibre et $V$ la perturbation. On ne traite que des hamiltoniens indépendents du temps et on pose la constante de Planck $\hbar =1$ ainsi que la constante de Boltzmann $k_{B}=1$. On définit l'opérateur d'évolution complet ${\hat {U}}(t,0)\equiv e^{-iHt}=e^{-iH_{0}t}U_{I}(t,0)$ et on définit son inverse ${\hat {U}}^{\dagger }(t,0)\equiv e^{iHt}=U_{I}(0,t)e^{iH_{0}t}$, étant donné l'opérateur d'évolution unitaire. De cette façon,

${\hat {U}}(t,t_{0})=e^{-iH_{0}t}{\hat {U}}_{I}(t,0){\hat {U}}_{I}(0,t_{0})e^{iH_{0}t_{0}}=e^{-iH_{0}t}{\hat {U}}_{I}(t,t_{0})e^{iH_{0}t_{0}}.$

On peut désormais déterminer l'équation régissant l'évolution de ${\hat {U}}_{I}(t,t_{0})$ en portant l'équation précédente pour ${\hat {U}}(t,t_{0})$ dans l'équation de Schrödinger pour obtenir

$i{\frac {\partial U_{I}(t,t_{0})}{\partial t}}=V(t)U_{I}(t,t_{0}).$

On intègre maintenant des deux côtés de l'équation:

$i\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} t^{\prime }{\frac {\partial U_{I}(t^{\prime })}{\partial t^{\prime }}}=U_{I}(t,t_{0})-U_{I}(t_{0},t_{0})=-i\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} t^{\prime }V(t^{\prime })U_{I}(t^{\prime },t_{0}),$

de telle sorte que l'on obtienne la relation d'auto-cohérence suivante

$U_{I}(t,t_{0})=1-i\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} t^{\prime }V(t^{\prime })U_{I}(t^{\prime },t_{0}).$

En itérant l'expression précédente, on arrive à définir le super-opérateur d'ordonnancement dans le temps ${\hat {T}}_{t}$ qui sera utile à la définition de la fonction de Green de Matsubara:

${\hat {U}}_{I}(t,t_{0})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}(-1)^{n}\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} t_{1}\cdots \int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} t_{n}{\hat {T}}_{t}\left({\hat {V}}(t_{1})\cdots {\hat {V}}(t_{n})\right)={\hat {T}}_{t}\exp \left(-\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} t_{1}{\hat {V}}(t_{1})\right).$

Le super-opérateur agit sur des opérateurs de telle sorte que ${\hat {T}}_{t}\left[{\hat {A}}(t){\hat {B}}(t^{\prime })\right]={\hat {A}}(t){\hat {B}}(t^{\prime })$ si $t>t^{\prime }$ et ${\hat {T}}_{t}\left[{\hat {A}}(t){\hat {B}}(t^{\prime })\right]={\hat {B}}(t^{\prime }){\hat {A}}(t)$ si $t^{\prime }>t$.

Opérateur densité

On poursuit le développement en définissant l'opérateur densité $\rho$

$\rho ={\frac {e^{-\beta \left(H-\mu N\right)}}{Z}},$

où $Z={\text{Tr}}\left[e^{-\beta \left(H-\mu N\right)}\right]$ est la fonction de partition grand-canonique. L'opérateur densité obéit à l'équation de Bloch

$\partial _{\beta }\rho =-H\rho ,$

similaire à l'équation de Schrödinger. On constate alors qu'il y a possibilité de traiter simultanément l'opérateur densité ainsi que l'opérateur d'évolution en ayant recours au temps imaginaire. Pour ce faire, on définit le temps imaginaire $\tau \equiv it$. De cette façon,

$e^{-\beta H}=e^{-\beta H_{0}}{\hat {U}}_{I}(\beta ,0)=e^{-\beta H_{0}}{\hat {T}}_{\tau }\exp \left(-\int _{0}^{\beta }\mathrm {d} \tau _{1}{\hat {V}}(\tau _{1})\right)$

Si l'on considère le produit d'opérateurs ${\hat {A}}(t){\hat {B}}(t^{\prime })$ et qu'on le décompose dans la représentation d'interaction, on trouve

${\hat {A}}(t){\hat {B}}(t^{\prime })={\hat {U}}(0,t){\hat {A}}(t){\hat {U}}(t,t^{\prime }){\hat {B}}(t^{\prime }){\hat {U}}(t^{\prime },0),$

où les opérateurs ${\hat {A}}$ et ${\hat {B}}$ sont exprimés dans la représentation de Heisenberg, i.e ${\hat {A}}(t)=e^{itH_{0}}Ae^{-itH_{0}}$, et où les opérateurs unitaires d'évolution