Utilisateur:Henddewin/Brouillon 1

En analyse, le théorème de Taylor appelé aussi la formule de Taylor, du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 1715, montre qu'une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d'un point peut être approximée par une fonction polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point.

De manière plus précise, soit :

• I un intervalle de $\mathbb {R}$ et a un élément de I,
• E un espace vectoriel normé,
• f une fonction de I dans E qui soit dérivable en a jusqu’à l’ordre n (un entier naturel).

Alors, pour tout x dans I, l’expression

$f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+R_{n}(x)$

ou son équivalent

$\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+R_{n}(x)$

définit un reste R_n(x) dont le comportement s’apparente au monôme (x – a)^{n + 1}.

En présentant cette formule, Taylor propose une méthode de développement en série, mais il se préoccupe peu de la nature du reste ; il faut attendre ses successeurs pour la caractériser rigoureusement.

On désigne par théorème de Taylor ou formule de Taylor plusieurs résultats et expressions pour $\scriptstyle R_{n}(x)$ découlant du cadre ci-dessus, parfois renforcé par quelques hypothèses supplémentaires.

La fonction exponentielle (en rouge) et le polynôme de Taylor d'ordre 4 au point 0 (en bleu)

Expressions et estimations du reste

Formule de Taylor-Young

Si la fonction f (à valeurs réelles ou complexes ou même dans un espace normé) est dérivable en a jusqu’à l’ordre n, la fonction $R_{n}(x)$ est négligeable devant $(x-a)^{n}$.

${R_{n}(x)}=o({(x-a)^{n}})$.

Formulation équivalente :

$\lim _{x\to a \atop x\neq a}{\frac {R_{n}(x)}{(x-a)^{n}}}=0$.

Formule de Taylor-Lagrange

Si la fonction f est à valeurs réelles et qu’elle est dérivable sur I jusqu’à l’ordre n + 1, alors il existe un nombre ξ strictement compris entre a et x tel que

$R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}.$

Cette relation s’appelle également forme de Lagrange.

Le nombre ξ est parfois noté a + (x – a)θ, et la condition qu'il soit compris entre a et x s'écrit alors 0 < θ < 1.

Inégalité de Taylor-Lagrange

S’il existe M tel que

$\forall y\in I,|f^{(n+1)}(y)|\leq M,$

alors

$|R_{n}(x)|\leq {\frac {M|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}}.$

C'est notamment le cas pour les fonctions de classe C^{n + 1} sur [a, x].

Formule de Taylor-Cauchy

C'est une variante de la formule de Taylor-Lagrange. Si la fonction f est à valeurs réelles et qu’elle est dérivable sur I jusqu’à l’ordre n+1, alors il existe un nombre ξ strictement compris entre a et x tel que

$R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)(x-\xi )^{n}.$

Formule de Taylor avec reste de Laplace (ou reste intégral)

Si la fonction f est continûment dérivable sur I jusqu’à l’ordre n + 1, alors

$R_{n}(x)=\int _{a}^{x}{\frac {f^{(n+1)}(t)}{n!}}(x-t)^{n}\,\mathrm {d} t.$

Remarques

• L'inégalité de Taylor-Lagrange est une conséquence de la relation précédente.
• Formule de Taylor-Maclaurin : lorsque a = 0, la formule s’écrit$f(x)=f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f^{(2)}(0)}{2!}}x^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}+R_{n}(x).$
• La formule de Taylor-Lagrange est une généralisation du théorème des accroissements finis. Ce dernier peut être utilisé pour montrer cette formule dans le cas d’une fonction à valeurs réelles. Cependant, si E est un espace vectoriel normé, l'égalité de la formule doit être remplacée par une inégalité (voir l'article Inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs vectorielles).
• La formule de Taylor avec reste de Laplace est une généralisation du théorème fondamental du calcul différentiel et intégral (ce dernier est utilisé dans la preuve ci-dessous).
• Pour certaines fonctions f, le reste R_n(x) tend vers zéro lorsque n tend vers l'infini ; ces fonctions peuvent ainsi être développées en série de Taylor dans un voisinage du point a. Si cette propriété se vérifie en tout point du domaine de définition, la fonction est dite analytique.
• Contrairement à la formule de Taylor-Lagrange, les théorèmes de Taylor-Young et de Taylor-Laplace sont vrais pour des fonctions f à valeurs complexes ou dans un espace vectoriel normé.

Preuves

Démonstration de la formule de Taylor-Young

L'essentiel de la preuve réside dans le lemme suivant :

Lemme — Soit f une application dérivable sur un intervalle réel I, à valeurs dans un espace normé, et dont la dérivée f ' possède, en un point a de I, un développement limité à l'ordre n – 1 :

$f'(x)=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}(x-a)^{k}\ +\ o((x-a)^{n-1}).$

Alors f possède en a un développement limité à l'ordre n :

$f(x)=f(a)+\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}{\frac {(x-a)^{k+1}}{k+1}}\ +\ o((x-a)^{n}).$

Preuve du lemme

Définissons R sur I (nulle en a) par :

$R(x)=f(x)-f(a)\ -\ \sum _{k=0}^{n-1}a_{k}{\frac {(x-a)^{k+1}}{k+1}}.$

Par hypothèse,

$R'(x)=o((x-a)^{n-1})$

et il s'agit d'en déduire que

$R(x)=o((x-a)^{n}).$

Si f est à valeurs réelles, la règle de L'Hôpital suffit à cela. Dans le cas général, on utilise l'inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs vectorielles comme suit.

Soit ε > 0. Il existe δ > 0 tel que

$\forall t\in I,\quad |t-a|<\delta \Rightarrow \|R'(t)\|\leq |t-a|^{n-1}\varepsilon .$ L'inégalité des accroissements finis permet d'en déduire que $\forall x\in I,\quad |x-a|<\delta \Rightarrow \|R(x)\|\leq |x-a|^{n}\varepsilon /n,$

ce qui conclut.

Grâce à ce lemme, la formule se démontre par récurrence.

Pour n = 1, c'est la définition de f ' (a).

Soient n > 1 et f à valeurs dans un espace normé et n fois dérivable en un réel a, ce qui sous-entend que les dérivées précédentes, en particulier f ', sont définies sur un intervalle réel I contenant a. Supposons vraie la formule à l'ordre n – 1 et appliquons-la à f ' :

$f'(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k+1)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+o((x-a)^{n-1}).$

Le lemme donne alors :

$f(x)=f(a)+\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k+1)}(a)}{k!}}{\frac {(x-a)^{k+1}}{k+1}}+o((x-a)^{n})=\sum _{j=0}^{n}{\frac {f^{(j)}(a)}{j!}}(x-a)^{j}+o((x-a)^{n}),$

ce qui prouve la formule à l'ordre n.

Démonstration de la formule de Taylor-Lagrange

La formule de Taylor-Lagrange est une conséquence directe du théorème de Rolle.

Pour tout x dans I, on introduit la fonction définie par

$g(y)=f(x)-\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(y)}{k!}}(x-y)^{k}-c(x-y)^{n+1}$

où c est choisi de sorte que g(a) = 0, c'est-à-dire :

$f(x)-\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}=c(x-a)^{n+1}.$

Puisque g(a) = g(x) = 0, le théorème de Rolle affirme qu’il existe ξ entre a et x tel que g' (ξ) = 0.

Puisque

$g'(y)=-{\frac {f^{(n+1)}(y)}{n!}}(x-y)^{n}+c(n+1)(x-y)^{n},$

il vient

${\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{n!}}(x-\xi )^{n}=c(n+1)(x-\xi )^{n},$ soit ${\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}=c$

qui implique

$(x-a)^{n+1}{\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}=f(x)-\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}.$

C’est précisément la formule à montrer.

Démonstration de la formule de Taylor avec reste intégral de Laplace

La formule se vérifie par récurrence sur n.

Si f est de classe C¹ sur [a, x], le théorème fondamental de l'analyse affirme

$f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\mathrm {d} t$

et c’est précisément la formule correspondant à n = 0.

Si la formule est vraie pour n et f de classe C^{n + 2} sur [a, x], une intégration par parties conduit à la relation

${\begin{aligned}\int _{a}^{x}{\frac {(x-t)^{n}}{n!}}f^{(n+1)}(t)\mathrm {d} t&=\left[-{\frac {(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}}f^{(n+1)}(t)\right]_{a}^{x}-\int _{a}^{x}-{\frac {(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}}f^{(n+2)}(t)\mathrm {d} t\\&={\frac {(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}}f^{(n+1)}(a)+\int _{a}^{x}{\frac {(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}}f^{(n+2)}(t)\mathrm {d} t.\end{aligned}}$

Par hypothèse de récurrence

$f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(x-a)^{k}}{k!}}f^{(k)}(a)+\int _{a}^{x}{\frac {(x-t)^{n}}{n!}}f^{(n+1)}(t)\mathrm {d} t,$

ce qui implique

$f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(x-a)^{k}}{k!}}f^{(k)}(a)+{\frac {(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}}f^{(n+1)}(a)+\int _{a}^{x}{\frac {(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}}f^{(n+2)}(t)\mathrm {d} t.$

Par conséquent

$f(x)=\sum _{k=0}^{n+1}{\frac {(x-a)^{k}}{k!}}f^{(k)}(a)+\int _{a}^{x}{\frac {(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}}f^{(n+2)}(t)\mathrm {d} t$

et la formule est également vraie pour n + 1.

Formule de Taylor pour les fonctions de plusieurs variables

Il existe des formules analogues pour des fonctions n fois différentiables en un point $a$ d’un domaine $\Omega \subset \mathbb {R} ^{p}$ à valeurs dans $\mathbb {R}$ (et même à valeurs dans $\mathbb {R} ^{q}$). Cependant, les coefficients multinomiaux qui interviennent rendent l'expression assez lourde.

Considérons une boule ouverte $B$ de $\mathbb {R} ^{p}$ (généralisation de l’intervalle $I$) centrée en $a$ et $f$ une fonction à valeurs réelles définie sur l'adhérence ${\bar {B}}$, possédant des dérivées partielles d'ordre $n+1$ continues en chaque point. Alors, pour tout $x\in B$ :

$f(x)=\sum _{|\alpha |=0}^{n}{\frac {1}{\alpha !}}{\frac {\partial ^{\alpha }f(a)}{\partial x^{\alpha }}}(x-a)^{\alpha }+\sum _{|\alpha |=n+1}R_{\alpha }(x)(x-a)^{\alpha }$

où les sommes portent sur les multi-indices α (cette formule utilise les notations multi-indicées décrites dans l'article multi-indice), et où le reste vérifie l'inégalité

$|R_{\alpha }(x)|\leq \sup _{y\in {\bar {B}}}\left|{\frac {1}{\alpha !}}{\frac {\partial ^{\alpha }f(y)}{\partial x^{\alpha }}}\right|$

pour tous les α tels que |α| = n + 1.

En particulier, pour une fonction $f$ deux fois différentiable en $a\in \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}$ à valeur dans $\mathbb {R}$, on peut écrire pour tout $x\in \Omega$ :

$f(x)=f(a)+\nabla f(a)\cdot (x-a)+{\frac {1}{2}}(x-a)^{T}\mathbb {H} (a)(x-a)+o(||x-a||^{2}).$

où $\nabla f$ est le gradient de $f$ et $\mathbb {H} (a)$ est sa matrice hessienne évaluée en $a$.

Exemple :

Soit une fonction $f$ deux fois différentiable en $(a,b)$ à valeur dans $\mathbb {R}$, alors pour tout $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$

${\begin{aligned}f(x,y)\approx f(a,b)&+{\frac {\partial f}{\partial x}}(a,b)(x-a)+{\frac {\partial f}{\partial y}}(a,b)(y-b)+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(a,b)(x-a)^{2}\\&+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(a,b)(y-b)^{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}(a,b)(x-a)(y-b)\end{aligned}}$

Bibliographie

• J. Lelong-Ferrand et J.-M. Arnaudiès, Cours de mathématiques (T2 : Analyse), Bordas, 1977
• Claude Deschamps et André Warusfel, J'intègre : Mathématiques première année, Dunod, 1999

Voir aussi

• Série de Taylor
• Développement limité
• Développement en série