En analyse, le théorème de Taylor appelé aussi la formule de Taylor, du nom du mathématicienBrook Taylor qui l'établit en 1715[1], montre qu'une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d'un point peut être approximée par une fonction polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point.
fune fonction de Idans E qui soit dérivable en ajusqu’à l’ordre n (un entier naturel).
Alors, pour tout xdans I, l’expression
ou son équivalent
définit un reste Rn(x) dont le comportement s’apparente au monôme (x – a)n + 1.
En présentant cette formule, Taylor propose une méthode de développement en série[2], mais il se préoccupe peu de la nature du reste ; il faut attendre ses successeurs pour la caractériser rigoureusement.
On désigne par théorème de Taylor ou formule de Taylor plusieurs résultats et expressions pour découlant du cadre ci-dessus, parfois renforcé par quelques hypothèses supplémentaires.
Si la fonction f(à valeurs réelles ou complexes ou même dans un espace normé) est dérivable en ajusqu’à l’ordre n, la fonction est négligeable devant .
Si la fonction f est à valeurs réelles et qu’elle est dérivable sur Ijusqu’à l’ordre n + 1, alors il existe un nombre ξ strictement compris entre aet xtel que
Cette relation s’appelle également forme de Lagrange.
Le nombre ξ est parfois noté a + (x – a)θ, et la condition qu'il soit compris entre aet xs'écrit alors 0 < θ < 1.
C'est une variante de la formule de Taylor-Lagrange[3],[4]. Si la fonction f est à valeurs réelles et qu’elle est dérivable sur I jusqu’à l’ordre n+1, alors il existe un nombre ξ strictement compris entre a et x tel que
Formule de Taylor avec reste de Laplace (ou reste intégral)
Pour certaines fonctions f, le reste Rn(x) tend vers zéro lorsque n tend vers l'infini ; ces fonctions peuvent ainsi être développées en série de Taylor dans un voisinage du point a. Si cette propriété se vérifie en tout point du domaine de définition, la fonction est dite analytique.
Contrairement à la formule de Taylor-Lagrange, les théorèmes de Taylor-Young et de Taylor-Laplace sont vrais pour des fonctions fà valeurs complexes ou dans un espace vectoriel normé.
L'essentiel de la preuve réside dans le lemme suivant :
Lemme — Soit fune application dérivable sur un intervalle réel I, à valeurs dans un espace normé, et dont la dérivée f 'possède, en un point ade I, un développement limité à l'ordre n – 1 :
Alors fpossède en aun développement limité à l'ordre n :
L'inégalité des accroissements finis permet d'en déduire que
ce qui conclut.
Grâce à ce lemme, la formule se démontre par récurrence.
Pour n = 1, c'est la définition de f ' (a).
Soient n > 1 et fà valeurs dans un espace normé et n fois dérivable en un réel a, ce qui sous-entend que les dérivées précédentes, en particulier f ', sont définies sur un intervalle réel Icontenant a. Supposons vraie la formule à l'ordre n – 1 et appliquons-la à f ':
Il existe des formules analogues pour des fonctions n fois différentiables en un point d’un domaine à valeurs dans (et même à valeurs dans ). Cependant, les coefficients multinomiaux qui interviennent rendent l'expression assez lourde.
Considérons une boule ouverte de (généralisation de l’intervalle ) centrée en et une fonction à valeurs réelles définie sur l'adhérence, possédant des dérivées partielles d'ordre continues en chaque point. Alors, pour tout :
où les sommes portent sur les multi-indices α (cette formule utilise les notations multi-indicées décrites dans l'article multi-indice), et où le reste vérifie l'inégalité
pour tous les α tels que |α| = n + 1.
En particulier, pour une fonction deux fois différentiable en à valeur dans , on peut écrire pour tout :
↑L'article consacré à Taylor précise que : « En fait, la première mention par Taylor de ce qui est appelé aujourd'hui théorème de Taylor apparaît dans une lettre que ce dernier écrivit à Machin le 26 juillet 1712. Dans cette lettre, Taylor explique clairement d'où lui est venue cette idée, c'est-à-dire d'un commentaire que fit Machin au Child's Coffeehouse, utilisant les « séries de Sir Isaac Newton » pour résoudre un problème de Kepler, et utilisant également « les méthodes de Dr. Halley pour extraire les racines » d'équations polynomiales. Il y a en fait deux versions du théorème de Taylor données sur le papier de 1715. Dans la première version, le théorème apparaît dans la Proposition 11 qui est une généralisation des méthodes de Halley d'approximation de racines de l'équation de Kepler, ce qui allait bientôt devenir une conséquence des séries de Bernoulli. C'est cette version qui a été inspirée par les conversations du Coffeehouse décrites précédemment. Dans la seconde version se trouve le Corollaire 2 de la Proposition 7 et qui est une méthode pour trouver davantage de solutions des équations fluxionales dans les séries infinies. Taylor était le premier à découvrir ce résultat ! »
↑(en) Brook Taylor (trad. Ian Bruce), Methodus incrementorum directe et inversa, proposition VII, théorème III, Corollaire II, Londres, 1715, Lire en ligne