Utilisateur:Fluctuating metric/Brouillon relat intri

La théorie de la relativité intriquée est, à l’instar de la relativité générale, une théorie de l’interaction entre la matière et l’espace-temps. Elle comporte les mêmes ingrédients que la relativité générale (e.g. variété métrique représentant un espace-temps à 4 dimensions), mais présuppose un couplage différent entre la matière et la courbure de l’espace-temps. Alors que la relativité générale présuppose que les deux domaines peuvent exister indépendamment du point de vue théorique, la relativité intriquée ne le permet pas, et les deux aspects des lois de la nature (matière versus courbure de l’espace-temps) sont intrinsèquement liés au sein même de la définition de la théorie.

La théorie de la relativité intriquée possède la relativité générale comme limite dans certaines conditions assez génériques.^[1] Au niveau de la théorie classique des champs, la théorie de la relativité intriquée ne postule pas l'existence d'une constante de couplage entre la matière et la gravitation; à l'inverse des théories de la relativité générale et de la gravitation de Newton, avec leur constante gravitationnelle $G$ . Le couplage entre la matière et la courbure de l'espace-temps au niveau des équations de champs est purement dynamique en relativité intriquée, et découle d'un degré de liberté effectif de la théorie. La constante gravitationnelle $G$ n'est donc pas une constante en relativité intriquée, mais est un champ dont la valeur s'est fixée au début de l'expansion de l'univers. Ainsi, au niveau de la théorie classique des champs, la relativité intriquée possède 1 paramètre libre de moins que la relativité générale sans constante cosmologique, et 2 paramètres libre de moins que la relativité générale avec constante cosmologique.

La théorie de la relativité intriquée a été proposée pour la première fois en 2015 dans la revue Physics Letters B,^[2] et a fait l'objet de peu d'études jusqu'à présent. Néanmoins, la théorie peut être écrite sous une forme alternative qui se réduit à une classe de théories très étudiée depuis les années 80 et la première révolution des supercordes, puisque le degré de liberté supplémentaire de la théorie de la relativité intriquée peut s'écrire comme un dilaton effectif.^[1] Une partie non-négligeable de sa phénoménologie ou de ses propriétés peuvent donc être extraits d'études antérieurs.^[1]

Le nom "relativité intriquée" ("entangled relativity" en anglais) apparaît pour la première fois dans un article du journal Physical Review D en 2021.^[3] Il provient du fait que les termes relatifs à la courbure de l’espace-temps et à la matière sont indissociables dans la définition même de la théorie, telles que les définitions de la matière et de la courbure sont, en quelque sorte, intriquées.

La théorie de la relativité intriquée n'a, a priori, rien à voir avec le phénomène d'intrication quantique.

Formulation mathématique[modifier | modifier le code]

La théorie de la relativité intriquée est définie par son action:^[1]

S=-{\xi  \over 2c}\int {\sqrt {-g}}~d^{4}x{{\mathcal {L}}_{m}^{2} \over R},~~(1)

où

${\mathcal {L}}_{m}$ est la densité Lagrangienne représentant la matière,
$R$ est la courbure scalaire de l'espace-temps,
$g$ est le déterminant du tenseur métrique : $g=\det(g_{\mu \nu })$ ,
$\xi$ est une nouvelle constante fondamentale qui n'a un impact qu'au niveau de la théorie quantique des champs,^[1]
$c$ , la vitesse de la lumière dans le vide.

Contrairement à la théorie de la relativité générale, l'action de la théorie de la relativité intriquée ne peut pas être définie sans définir en même temps la matière avec le terme ${\mathcal {L}}_{m}$ .

Équations de champs[modifier | modifier le code]

Pour la métrique[modifier | modifier le code]

Les équations de champs qui découle de la variation de l'action par rapport à l'inverse de la métrique donne^[2], pour tout ${\mathcal {L}}_{m}\neq 0$

$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R=-{\frac {R}{{\mathcal {L}}_{m}}}T_{\mu \nu }+{\frac {R^{2}}{{\mathcal {L}}_{m}^{2}}}\left(\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }-g_{\mu \nu }\square \right){\frac {{\mathcal {L}}_{m}^{2}}{R^{2}}}.~~(2)$

où le tenseur énergie-impulsion est définie de manière usuelle par

$T_{\mu \nu }=-{\frac {2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta \left({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{m}\right)}{\delta g^{\mu \nu }}}$ .

Cette équation (2) est l'équivalent des équations d'Einstein de la relativité générale pour la relativité intriquée.

La relativité générale comme limite[modifier | modifier le code]

Il a été montré que ${\mathcal {L}}_{m}/R$ se comporte comme un nouveau degré de liberté dans cette théorie, et que ce degré de liberté gèle quand les solutions des équations de champs de la matière sont telles que ${\mathcal {L}}_{m}=T$ .^[1] C'est-à-dire que ${\mathcal {L}}_{m}/R$ est (ou tend vers) une constante quand ${\mathcal {L}}_{m}=T$ à l'intérieur des équations de champs. Dans ce cas, les équations de champs sur la métrique deviennent identiques à celles de la relativité générale (sans constante cosmologique) avec

$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R=\kappa ~T_{\mu \nu },~~(3)$

où $\kappa =-R/{\mathcal {L}}_{m}$ . On remarque que quand ${\mathcal {L}}_{m}=T$ , cette définition de $\kappa$ redonne bel et bien la trace des équations d'Einstein sans constante cosmologique. Rappelons que, dans le cadre de la relativité générale, $\kappa =8\pi G/c^{4}$ , où $G$ est la constante gravitationnelle.

Une constante effective de Newton[modifier | modifier le code]

Puisque ${\mathcal {L}}_{m}/R$ est un degré de liberté de la théorie, cela signifie que $G$ n'est pas une constante dans le cadre de la relativité intriquée, mais est la valeur prise par un champs effectif à une position de l'espace-temps donnée. $G$ est donc variable, et sa variabilité dépend de la variabilité du degré de liberté supplémentaire de la théorie ${\mathcal {L}}_{m}/R$ . Néanmoins, il a été montré que cette variabilité est très faible, voir inexistante, à notre époque cosmique, et partout où la pression de la matière est négligeable par rapport à sa densité d'énergie.^[1] Cela est notamment le cas dans le système solaire en première approximation.^[4]

Aucune valeur de $G$ n'a encore été prédite dans le cadre de la relativité intriquée. Pour réaliser une telle prédiction, et ainsi vérifier son adéquation avec la valeur mesurée, il faudrait disposer d'un modèle d'univers primordiale cohérent avec la théorie. Ce point, parmi de nombreux autres, reste à être étudié.

Un cas d'équivalence entre les relativités intriquée et générale[modifier | modifier le code]

Un exemple de cas pour lequel ${\mathcal {L}}_{m}=T$ est un fluide parfait sans pression (aussi appelé "poussière"), puisque dans ce cas, ${\mathcal {L}}_{m}=-\rho =T$ , où $\rho$ est la densité d'énergie du fluide parfait.^[1] Un univers (imaginaire) composé uniquement de poussière serait donc identique pour les deux théories.

Pour la matière[modifier | modifier le code]

${\mathcal {L}}_{m}$ n'est pas a priori la densité Lagrangienne du modèle standard de la physique des particules, mais doit au moins se réduire à ce dernier lorsque la théorie de la relativité intriquée devient indissociable de celle de la relativité générale. C'est-à-dire, quand le degré de liberté supplémentaire de la théorie gèle. Les équations de Euler-Lagrange pour la matière sont modifiées de la manière suivante^[1]

${\frac {\partial {\mathcal {L}}_{m}}{\partial \chi }}-{\frac {1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\sigma }\left({\frac {\partial {\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{m}}{\partial \left(\partial _{\sigma }\chi \right)}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}_{m}}{\partial \left(\partial _{\sigma }\chi \right)}}\partial _{\sigma }\ln \left({\frac {{\mathcal {L}}_{m}}{R}}\right)$ , (4)

où $\chi$ est un champs matériel quelconque. Le terme de droite de cette équation (4) (qui est nouveau par rapport à la relativité générale) disparaît lorsque le degré de liberté ${\mathcal {L}}_{m}/R$ gèle, ce qui arrive de manière standard dans le cadre de cette théorie. Les équations de champ se réduisent donc de manière générique aux équations de champs usuelles dans le cadre de la relativité intriquée.

Par ailleurs, l'équation de conservation du tenseur énergie-impulsion est aussi modifiée par rapport à celle qui découle de la relativité générale, telle que^[2]

$\nabla _{\sigma }\left({\frac {{\mathcal {L}}_{m}}{R}}T^{\alpha \sigma }\right)={\mathcal {L}}_{m}\nabla ^{\alpha }\left({\frac {{\mathcal {L}}_{m}}{R}}\right)$ . (5)

Une fois de plus, l'équation (5) se réduit à l'équation usuelle lorsque le degré de liberté ${\mathcal {L}}_{m}/R$ gèle.

Forme alternative (dilaton)[modifier | modifier le code]

Le degré de liberté additionnel de la théorie ${\mathcal {L}}_{m}/R$ est le rapport de deux grandeurs scalaires, et est donc lui-même une grandeur scalaire. Il a été montré que l'action de l'équation (1) peut se ré-écrire comme une théorie tenseur-scalaire de la forme suivante^[2]

$S={\frac {1}{c}}{\frac {\xi }{\tilde {\kappa }}}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left[{\frac {\phi R}{2{\tilde {\kappa }}}}+{\sqrt {\phi }}{\mathcal {L}}_{m}\right]$ , (6)

où ${\tilde {\kappa }}$ est une constante effective de couplage entre la courbure de l'espace-temps et la matière. Le champ scalaire $\phi$ est définie par ${\sqrt {\phi }}=-\kappa {\mathcal {L}}_{m}/R$ . Cette identification permet de comprendre que ${\mathcal {L}}_{m}/R$ est effectivement bien un degré de liberté additionnel de la relativité intriquée par rapport à la relativité générale.

A partir de principes diamétralement différents, les théories des cordes conduisent aussi à une gravitation effective de la forme (grossièrement) de l'action (6). Dans ce cadre, le champs scalaire est appelé dilaton.

Prédictions[modifier | modifier le code]

La théorie de la relativité intriquée semble naturellement assez cohérente avec les observations dans la mesure où elle possède la relativité générale comme limite dans des situations assez génériques.^[1] Peu d'études ont mis en évidence des variations significatives des prédictions de cette théorie par rapport à celle de la relativité générale pour le moment.

Dynamique du système solaire[modifier | modifier le code]

Il a été montré que la dynamique du système solaire en relativité intriquée semble être indissociable du point de vue observationnel de celle de la relativité générale au niveau de précision des observations et expériences actuelles.^[4]

Étoiles à neutrons[modifier | modifier le code]

Une première étude en 2021^[3] a montré que les étoiles à neutrons en relativité intriquée semblent être très semblables aux étoiles à neutrons de la relativité générale, si ce n'est qu'elles pourraient être légèrement plus massives.

Trous noirs[modifier | modifier le code]

Les solutions du vide ne pouvant exister dans le cadre de la relativité intriquée, la plupart des trous noirs de la relativité générale ne peuvent pas être solutions de la relativité intriquée. La première solution trouvée est celle d'un trou noir sphérique et chargé.^[5] Elle diffère de la métrique de la solution de Reissner–Nordström de la relativité générale. En revanche, la solution tend bien vers la solution de Schwarzschild lorsque la valeur du champ électromagnétique tend vers zéro, donnant le premier indice que les trous noirs de la relativité intriquée redonnent bien les trous noirs de la relativité générale en première approximation lorsque la densité matériel tend vers le vide, sans pour autant l'atteindre.

Solutions sphériques[modifier | modifier le code]

Dans la limite ${\mathcal {L}}_{m}\rightarrow 0$ à l’extérieur d'un objet sphérique, il a été montré que la métrique (dans la représentation d'Einstein) tend vers la solution suivante^[6]

$ds^{2}=-\left(1-{\frac {2m}{\beta r}}\right)^{\beta }\mathrm {d} t^{2}+\left(1-{\frac {2m}{\beta r}}\right)^{-\beta }\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\left(1-{\frac {2m}{\beta r}}\right)^{1-\beta }\left[\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \mathrm {d} \psi ^{2}\right]$ ,

où $\beta \in ]0,1]$ est un paramètre qui dépend de la composition et de la densité de l'objet. Quand $\beta =1$ , cette solution correspond à la métrique de Schwarzschild. Les trous noirs qui se seraient formés par effondrement ne devraient pas pouvoir avoir $\beta$ très différent de 1 à cause des propriétés générales des théories de type Tenseur-Scalaire, qui induisent en général un rayonnement (monopolaire) de la charge scalaire lors de l’effondrement d'un astre.

Cosmologie[modifier | modifier le code]

Il a été montré que, sans considérer de potentiels effets de la théorie quantique des champs, la théorie de la relativité intriquée semble converger rapidement vers la théorie de la relativité générale sans constante cosmologique au cours de l'évolution de l'univers.^[1] Par ailleurs l'accélération de l'expansion de l'univers ne semble pas pouvoir simplement être expliquée par la présence d'une constante cosmologique en relativité intriquée, contrairement au cas de la relativité générale.

Récemment, il a été avancé que des effets de théorie quantique des champs de la matière en espace-temps courbes pourraient entraîner l’accélération de l'expansion de l'univers telle que nous la constatons, sans pour autant faire intervenir une constante cosmologique.^[7]

Principe(s) d'équivalence[modifier | modifier le code]

La théorie de la relativité intriquée satisfait les différents aspects des principe(s) d'équivalence dès lors que son degré de liberté supplémentaire gèle, mais devrait les violer de manière générique autrement. Il a notamment été suggéré que cela pourrait entraîner un effet additionnel sur les profiles de pulsations en rayon X des étoiles à neutrons, pour lesquelles la variation du degré de liberté additionnel de la théorie pourrait être non-négligeable.^[3]

Principe de Mach[modifier | modifier le code]

Entre 1917^[8] et 1921^[9], Albert Einstein stipule que dans le cadre d'une théorie cohérente de la relativité, le tenseur métrique devrait être complètement déterminé par la matière, telle que la théorie ne devrait pas pouvoir posséder de solutions du vide.^[10] Il nomme cette contrainte sur les fondements de la relativité "Principe de Mach",^[10] en référence aux travaux métaphysiques d'Ernst Mach sur l'inertie des corps.^[11] La raison tient du fait que, influencé par Mach, le jeune Einstein croît en la relativité de l'inertie des corps, c'est-à-dire, que l'inertie des corps ne peut se définir que par rapport aux autres corps:

"Dans une théorie consistante de la relativité, il ne peut exister d'inertie relative à l'espace uniquement, mais seulement de l'inertie de masses relatives entre elles".^[8]

"[...] nous devons nous attendre à ce que l’intégralité de l'inertie, c'est-à-dire, tout le tenseur $g_{\mu \nu }$ , soit déterminée par la matière de l'univers, et non simplement par des conditions aux bords à l'infini.^[9]

Du point de vue épistémologique, il est plus satisfaisant d'avoir les propriétés mécaniques de l'espace intégralement déterminées par la matière [...].^[9]

Or, une solution du vide implique que l'inertie (qui découle du tenseur métrique) peut être définie sans aucune référence à la matière. Ainsi, ceci donnerait au tenseur métrique une dimension de grandeur absolue (par opposition à relative), dont Einstein ne voulait originellement pas. ^[11]

Le principe de Mach est d'ailleurs la raison pour laquelle Einstein introduisit une constante cosmologique dans ses équations: afin que la relativité générale ne puisse pas avoir de solutions du vide,^[8]^[10]^[12] alors que c'était manifestement le cas de la relativité générale sans constante cosmologique: par exemple, avec l'espace-temps de Minkowski, qui est une solution possible des équations de la relativité générale sans constante cosmologique dans le vide.

Après que de Sitter a montré que la relativité générale avec une constante cosmologique pouvait bel et bien aussi posséder des solutions du vide, Einstein arrêta de mentionner ce principe comme l'un des principes fondateurs de la relativité générale.^[11]

De par sa définition, la théorie de la relativité intriquée ne permet pas de considérer un espace-temps sans définir en même temps un champ matériel qui remplisse cet espace-temps. En d'autres termes, le vide ne peut fondamentalement pas exister dans le cadre de la relativité intriquée; contrairement au cas de la relativité générale, pour laquelle le vide est théoriquement possible. La théorie de la relativité intriquée semble donc mieux satisfaire les trois principes postulés par Einstein en 1918 comme fondements de la relativité générale que cette dernière. Ces trois principes sont^[10]

Principe de relativité: duquel découle la covariance des équations de la relativité,
Principe d'équivalence: duquel découle le fait que le tenseur métrique détermine les propriétés métrique de l'espace-temps, ainsi que l'inertie des corps et la gravitation,
Principe de Mach: duquel découle le fait que le tenseur métrique est complètement déterminé par la matière, et, à moindre mesure, que la théorie ne peut pas posséder de solutions du vide.

Théorie quantique des champs[modifier | modifier le code]

Il n'y a pour l'heure aucune étude des propriétés de la relativité intriquée dans le cadre de la théorie quantique des champs. Néanmoins, le paramètre $\xi$ de la théorie de la relativité intriquée doit être un paramètre d'origine purement quantique, dans la mesure où il apparaît en facteur de l'action (1), mais pas dans les équations de champs (2). Ainsi, le paramètre $\xi$ doit avoir un impact sur la pondération de la phase des intégrales de chemins dans le cadre de la théorie quantique des champs, et devrait donc pouvoir être mesurable en principe.

Résumé des points forts de la théorie[modifier | modifier le code]

Elle se base sur les 3 mêmes principes fondamentaux que la relativité générale au départ^[10]:
1. Principe de relativité: Les équations sont invariantes par transformation de coordonnées.
2. Principe d'équivalence: L'inertie et la gravitation sont déterminés par le tenseur métrique.
3. Principe de Mach - ou Principe de la relativité de l'inertie^[11]: La théorie ne peut pas être définit en l'absence de matière, empêchant à l'inertie de pouvoir être définit ex-nihilo, ou encore, de manière absolue.
Elle ne présuppose pas l'existence de champs ou de dimensions supplémentaires inobservés.
Elle ne présuppose pas l'existence d'une constante de couplage entre la courbure de l'espace-temps et la matière. (Elle ne présuppose donc pas l’existence de la constante de Newton, contrairement à la relativité générale).
Elle ne présuppose aucune nouvelle constante en ce qui concerne la théorie classique des champs, et n'a donc aucun paramètre ajustable pour toute sa phénoménologie classique (e.g. trajectoire des planètes et de la lumière, étoiles à neutron, trous noirs, cosmologie (hors primordiale) etc.).
Elle implique l'existence d'une nouvelle constante fondamentale dont la valeur ne joue que sur la phénoménologie quantique de la théorie.
Elle possède la phénoménologie de la relativité générale comme limite, dans des situations génériques pour lesquelles la relativité générale semble consistante avec les observations.

Points non-élucidés et viabilité de la théorie[modifier | modifier le code]

De part son jeune âge, la théorie de la relativité intriquée n'a encore été que peu étudiée. Beaucoup de travaux restent nécessaires pour s'assurer de sa viabilité du point de vue théorique d'une part, et de son adéquation avec les lois de la nature d'autre part. Sur ce point, pour l'heure, aucune théorie n'a encore réussi à égaler l'ensemble des nombreux succès observationnels de la relativité générale.

Références[modifier | modifier le code]

↑ ^{a b c d e f g h i j et k} (en) Olivier Minazzoli, « Rethinking the link between matter and geometry », Physical Review D, vol. 98, n^o 12,‎ 18 décembre 2018, p. 124020 (ISSN 2470-0010 et 2470-0029, DOI 10.1103/PhysRevD.98.124020, lire en ligne, consulté le 11 janvier 2021)
↑ ^{a b c et d} (en) Hendrik Ludwig, Olivier Minazzoli et Salvatore Capozziello, « Merging matter and geometry in the same Lagrangian », Physics Letters B, vol. 751,‎ décembre 2015, p. 576–578 (DOI 10.1016/j.physletb.2015.11.023, lire en ligne, consulté le 11 janvier 2021)
↑ ^{a b et c} Denis Arruga, Olivier Rousselle et Olivier Minazzoli, « Compact objects in entangled relativity », Physical Review D, vol. 103, n^o 2,‎ 15 janvier 2021, p. 024034 (DOI 10.1103/PhysRevD.103.024034, lire en ligne, consulté le 15 janvier 2021)
↑ ^{a et b} (en) Olivier Minazzoli et Aurélien Hees, « Intrinsic Solar System decoupling of a scalar-tensor theory with a universal coupling between the scalar field and the matter Lagrangian », Physical Review D, vol. 88, n^o 4,‎ 23 août 2013, p. 041504 (ISSN 1550-7998 et 1550-2368, DOI 10.1103/PhysRevD.88.041504, lire en ligne, consulté le 11 janvier 2021)
↑ (en) Olivier Minazzoli et Edison Santos, « Charged black hole and radiating solutions in entangled relativity », The European Physical Journal C, vol. 81, n^o 7,‎ 21 juillet 2021, p. 640 (ISSN 1434-6052, DOI 10.1140/epjc/s10052-021-09441-w, lire en ligne, consulté le 24 juillet 2021)
↑ (en) Denis Arruga et Olivier Minazzoli, « Analytical external spherical solutions in entangled relativity », The European Physical Journal C, vol. 81, n^o 11,‎ 24 novembre 2021, p. 1027 (ISSN 1434-6052, DOI 10.1140/epjc/s10052-021-09818-x, lire en ligne, consulté le 19 janvier 2022)
↑ (en) Olivier Minazzoli, « De Sitter space-times in entangled relativity », Classical and Quantum Gravity, vol. 38, n^o 13,‎ 17 juin 2021, p. 137003 (ISSN 0264-9381 et 1361-6382, DOI 10.1088/1361-6382/ac0589, lire en ligne, consulté le 18 juin 2021)
↑ ^{a b et c} « Volume 6: The Berlin Years: Writings, 1914-1917 (English translation supplement) page 427 », sur einsteinpapers.press.princeton.edu (consulté le 18 janvier 2021)
↑ ^{a b et c} Einstein, Albert, 1879-1955,, The meaning of relativity : four lectures delivered at Princeton University, May, 1921 (ISBN 978-1-78139-571-4 et 1-78139-571-3, OCLC 956386232, lire en ligne)
↑ ^{a b c d et e} « Volume 7: The Berlin Years: Writings, 1918-1921 (English translation supplement) page 33 », sur einsteinpapers.press.princeton.edu (consulté le 11 janvier 2021)
↑ ^{a b c et d} Pais, Abraham, 1918-2000., "Subtle is the Lord-- " : the science and the life of Albert Einstein, Oxford University Press, 2005 (ISBN 978-0-19-152402-8, 0-19-152402-6 et 1-280-75319-6, OCLC 646798828, lire en ligne)
↑ « Volume 7: The Berlin Years: Writings, 1918-1921 (English translation supplement) page 36 », sur einsteinpapers.press.princeton.edu (consulté le 28 janvier 2021)

[:0-1] {a b c d e f g h i j et k} (en) Olivier Minazzoli, « Rethinking the link between matter and geometry », Physical Review D, vol. 98, n^o 12,‎ 18 décembre 2018, p. 124020 (ISSN 2470-0010 et 2470-0029, DOI 10.1103/PhysRevD.98.124020, lire en ligne, consulté le 11 janvier 2021)

[:1-2] {a b c et d} (en) Hendrik Ludwig, Olivier Minazzoli et Salvatore Capozziello, « Merging matter and geometry in the same Lagrangian », Physics Letters B, vol. 751,‎ décembre 2015, p. 576–578 (DOI 10.1016/j.physletb.2015.11.023, lire en ligne, consulté le 11 janvier 2021)

[:5-3] {a b et c} Denis Arruga, Olivier Rousselle et Olivier Minazzoli, « Compact objects in entangled relativity », Physical Review D, vol. 103, n^o 2,‎ 15 janvier 2021, p. 024034 (DOI 10.1103/PhysRevD.103.024034, lire en ligne, consulté le 15 janvier 2021)

[:2-4] {a et b} (en) Olivier Minazzoli et Aurélien Hees, « Intrinsic Solar System decoupling of a scalar-tensor theory with a universal coupling between the scalar field and the matter Lagrangian », Physical Review D, vol. 88, n^o 4,‎ 23 août 2013, p. 041504 (ISSN 1550-7998 et 1550-2368, DOI 10.1103/PhysRevD.88.041504, lire en ligne, consulté le 11 janvier 2021)

[5] (en) Olivier Minazzoli et Edison Santos, « Charged black hole and radiating solutions in entangled relativity », The European Physical Journal C, vol. 81, n^o 7,‎ 21 juillet 2021, p. 640 (ISSN 1434-6052, DOI 10.1140/epjc/s10052-021-09441-w, lire en ligne, consulté le 24 juillet 2021)

[6] (en) Denis Arruga et Olivier Minazzoli, « Analytical external spherical solutions in entangled relativity », The European Physical Journal C, vol. 81, n^o 11,‎ 24 novembre 2021, p. 1027 (ISSN 1434-6052, DOI 10.1140/epjc/s10052-021-09818-x, lire en ligne, consulté le 19 janvier 2022)

[7] (en) Olivier Minazzoli, « De Sitter space-times in entangled relativity », Classical and Quantum Gravity, vol. 38, n^o 13,‎ 17 juin 2021, p. 137003 (ISSN 0264-9381 et 1361-6382, DOI 10.1088/1361-6382/ac0589, lire en ligne, consulté le 18 juin 2021)

[:6-8] {a b et c} « Volume 6: The Berlin Years: Writings, 1914-1917 (English translation supplement) page 427 », sur einsteinpapers.press.princeton.edu (consulté le 18 janvier 2021)

[:7-9] {a b et c} Einstein, Albert, 1879-1955,, The meaning of relativity : four lectures delivered at Princeton University, May, 1921 (ISBN 978-1-78139-571-4 et 1-78139-571-3, OCLC 956386232, lire en ligne)

[:3-10] {a b c d et e} « Volume 7: The Berlin Years: Writings, 1918-1921 (English translation supplement) page 33 », sur einsteinpapers.press.princeton.edu (consulté le 11 janvier 2021)

[:4-11] {a b c et d} Pais, Abraham, 1918-2000., "Subtle is the Lord-- " : the science and the life of Albert Einstein, Oxford University Press, 2005 (ISBN 978-0-19-152402-8, 0-19-152402-6 et 1-280-75319-6, OCLC 646798828, lire en ligne)

[12] « Volume 7: The Berlin Years: Writings, 1918-1921 (English translation supplement) page 36 », sur einsteinpapers.press.princeton.edu (consulté le 28 janvier 2021)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]