Utilisateur:Anne Bauval/Invariance
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Non équivalence en cas de dimensions différentes
[modifier | modifier le code]Cette topologie est dépendante de la dimension. Ainsi, il n'existe pas d'homéomorphisme d'un ouvert d'un espace de dimension n dans un espace de dimension p si n et p sont différents. Pour les petites dimensions, ce résultat est intuitif. Considérons par exemple une boule ouverte d'un espace de dimension un, retirer un point détruit la connexité. Ce résultat n'est vrai qu'en dimension un. Retirer un point d'une boule ouverte d'un espace de dimension deux détruit la simple connexité, propriété qui s'avère fausse pour les dimensions supérieures.
La démonstration se fonde sur le théorème d’invariance du domaine de Brouwer, il démontre que l'image de toute application continue bijective d'un ouvert d'un espace de dimension n dans lui-même est un homéomorphisme.
Plus simplement, il peut se démontrer en utilisant l'homologie des sphères.
EVIDEMMENT, mais bien plus tard, et non pas "plus simplement". Sourcer (Spanier, Hatcher, ...)
Théorèmes
[modifier | modifier le code]En dimension deux, pour séparer l'espace en deux composantes connexes le plus simple est de dessiner une ligne qui ne se croise pas elle-même et dont le point initial et final sont confondu. On parle alors de lacet simple de Jordan. Le lacet correspond à la frontière entre les deux zones. Ce théorème se généralise à une dimension finie quelconque. Ainsi une surface homéomorphe à celle d'une sphère divise encore l'espace en deux composantes connexes.
Théorème de Jordan-Brouwer — Soit φ une application continue et injective, de S (la sphère unité de E) dans E. Alors le complémentaire de l'image φ(S) dans l'espace E est formé de deux composantes connexes, dont l'une est bornée et l'autre non. Toutes deux ont pour frontière l'image de S.
Ce théorème est démontré en dimension deux par Camille Jordan et il faut attendre 1912 pour qu'il soit généralisé pour toute dimension finie par Luitzen Egbertus Jan Brouwer[1]. Il est une conséquence du théorème suivant :
Théorème d’invariance du domaine de Brouwer — Soit φ une application continue et injective, de U (un ouvert de E) dans E. Alors l'image de U est ouverte.
Une conséquence directe est que φ est un homéomorphisme. La démonstration du théorème d'invariance encore appelé de la boule ouverte,
UTILISE (à vérifier !) le résultat suivant :
Théorème du point fixe de Brouwer — Soit φ une application continue de la boule unité de E dans elle même. Alors il existe un point fixe x pour φ, c'est-à-dire vérifiant la propriété φ(x) est égal à x.
- L. Brouwer Zur Invarianz des n-dimensionalen Gebiets, Mathematische Annalen 72 (1912), pages 55 - 56