Univers (logique)

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En mathématiques, et en particulier en théorie des ensembles et en logique mathématique, un univers est un ensemble (ou parfois une classe propre) ayant comme éléments tous les objets qu'on souhaite considérer dans un contexte donné.

Théorie élémentaire des ensembles et probabilités[modifier | modifier le code]

Dans de nombreuses utilisations élémentaires de la théorie des ensembles, on se place en réalité dans un ensemble général U (appelé parfois univers de référence), et les seuls ensembles considérés sont les éléments et les sous-ensembles de U ; c'est ce point de vue qui a amené Cantor à développer sa théorie en partant de U = R, l'ensemble des nombres réels. Cela permet des simplifications (par exemple, la notion de complémentaire d'un ensemble peut être rendu "absolue", en définissant par défaut le complémentaire de A comme l'ensemble des x de U n'appartenant pas à A ; de même, tout comme l'union d'une famille vide d'ensembles est l'ensemble vide, on pourra définir l'intersection d'une famille vide comme étant U tout entier), et se prête bien à toutes les activités usuelles des mathématiciens : l'étude de la topologie de R, par exemple, ne peut se faire dans U = R, mais il suffit pour y parvenir de changer d'univers, en prenant pour U dans ce cas l'ensemble des parties de R. Ce point de vue a été systématisé par N. Bourbaki dans sa description des structures mathématiques[1].

C'est également ce point de vue qui est adopté dans la plupart des modèles de base de la théorie des probabilités : on s'intéresse à un ensemble (appelé univers) sur lequel est défini une mesure, et à tous ses sous-ensembles (mesurables), appelés évènements.

Théorie axiomatique des ensembles et théorie des modèles[modifier | modifier le code]

L'approche précédente, souvent qualifiée de « naïve »[2], s'est avérée impossible à formaliser complètement[3], à cause des nombreux paradoxes qu'elle entraîne[4], et dont le plus connu est le paradoxe de Russell, montrant l'incohérence de la notion d'ensemble de tous les ensembles. et donc d'un véritable univers qui contiendrait tous les objets mathématiques, y compris lui-même.

Il est cependant possible en pratique de parler d'un "univers" en deux sens distincts : d'une part, on peut considérer la classe (propre) de tous les ensembles, ou une restriction de cette dernière aux ensembles jugés intéressants ; c'est ainsi par exemple qu'est construit l'univers de von Neumann V des ensembles de la hiérarchie cumulative, ou l'univers L des ensembles constructibles, défini par Gödel  ; d'autre part, on peut limiter cette construction à un ensemble "assez grand" ; par exemple, si α est un ordinal suffisamment grand, l'ensemble V_\alpha obtenu dans la construction de von Neumann contiendra en pratique tous les objets dont le mathématicien "ordinaire" peut avoir besoin. À ce sens, on parle souvent en théorie des modèles d'un univers U pour désigner un ensemble qui est un modèle de la théorie considérée (le plus souvent ZFC), c'est-à-dire tel que ses éléments (et la relation d'appartenance entre eux) vérifient tous les axiomes de la théorie. On sait malheureusement depuis Gödel que l'existence d'un tel modèle ne peut être démontrée dans ZFC[5] ; la construction précédente demande donc par exemple de prendre pour α un ordinal si grand que son existence ne saurait être prouvable dans ZFC ; un tel ordinal est dit inaccessible.

Théorie des catégories[modifier | modifier le code]

Sans vouloir nécessairement rentrer dans tous les détails techniques précédents, certaines disciplines, telles que la théorie des catégories, ont besoin de pouvoir considérer comme un ensemble la classe de tous les objets qu'ils étudient[6]. Grothendieck a proposé d'adjoindre à ZFC un nouvel axiome, l'axiome des univers, lequel postule que tout ensemble appartient à un univers de Grothendieck (en), c'est-à-dire à un ensemble stable pour les opérations usuelles définies par les axiomes de ZFC, l'union et l'ensemble des parties[7]. Cet axiome (qui est étroitement lié à la notion de cardinal inaccessible) permet alors en pratique de construire des petites catégories (des catégories dont les éléments, objets et flèches, forment des ensembles) contenant tous les objets dont on peut avoir besoin : si U est un univers de Grothendieck, la catégorie des groupes éléments de U est une petite catégorie, ayant essentiellement les mêmes propriétés que la catégorie de tous les groupes, qui, elle, est une classe propre.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. N.Bourbaki, Éléments de mathématique, Livre I, ch.4, Structures Springer (2006) ; sa définition amène à prendre comme univers l'union d'ensembles obtenus par produit cartésien et par ensemble des parties d'ensembles déjà construits. Voir Induction structurelle (en) pour plus de détails.
  2. Voir Théorie naïve des ensembles
  3. Du moins si l'on conserve les axiomes usuels de la théorie des ensembles ; il est cependant possible, en supprimant l'axiome de sélection (qui donne naissance au paradoxe de Russell) d'aboutir à une théorie cohérente, comme le montre cet article de Delahaye (Pour la Science, n°397 novembre 2010)
  4. On en trouvera une liste sous la catégorie "Paradoxes de la théorie naïve des ensembles"
  5. C'est une conséquence du second théorème d'incomplétude, mais un argument simple (quoique métamathématique) montre qu'en supposant la cohérence de la théorie, il existe de tels modèles, et qu'il y en a même de toutes cardinalités, y compris dénombrables : c'est le théorème de Löwenheim-Skolem
  6. C'est également le cas de la classe des nombres surréels, bien que dans la pratique, les utilisateurs de ces derniers ne font que rarement usage de cette possibilité, parce qu'ils ne travaillent généralement que dans des restrictions aux surréels "créés" avant un ordinal fixé assez grand ; voir John H. Conway, On Numbers and Games, p. 49
  7. Plus précisément, un univers de Grothendieck est un ensemble U ayant les propriétés suivantes : 1) si x est un élément de U et si y est un élément de x, alors y est aussi un élément de U (on dit que U est transitif). 2) si x et y sont deux éléments de U, alors {x,y} est un élément de U. 3) si x est un élément de U, alors P(x), l'ensemble des parties de x, est aussi un élément de U. 4) si \{x_\alpha\}_{\alpha\in I} est une famille d'éléments de U, et si I est un élément de U, alors l'union \bigcup_{\alpha\in I} x_\alpha est un élément de U.

Références[modifier | modifier le code]