Univers de von Neumann

En théorie des ensembles, une des branches des mathématiques, l'univers de von Neumann, ou hiérarchie cumulative de von Neumann, est la classe notée V d'ensembles « héréditaires », tels que la relation d'appartenance sur ces ensembles soit bien fondée. Cette classe, qui est formalisée par la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZFC), est souvent utilisée pour fournir une interprétation ou une motivation des axiomes de ZFC. Ce concept est nommé d'après John von Neumann, bien qu'il ait été publié pour la première fois par Ernst Zermelo en 1930.

Le rang d'un ensemble bien fondé est défini de façon récursive comme le plus petit nombre ordinal plus grand que les rangs de tous les membres de l'ensemble. En particulier, le rang de l'ensemble vide est zéro, et chaque ordinal a un rang égal à lui-même. Les ensembles dans V se répartissent dans une hiérarchie transfinie V_α, appelée hiérarchie cumulative, en fonction de leur rang.

Définition

Un segment initial de l'univers de von Neumann. La multiplication des nombres ordinaux est écrite en sens inverse de la convention usuelle (voir Opérations arithmétiques sur les ordinaux).

La hiérarchie cumulative est une collection d'ensembles V_α indexée par la classe des nombres ordinaux. En particulier, V_α est l'ensemble de tous les ensembles de rang inférieur à α. Il y a donc un ensemble V_α pour chaque nombre ordinal α. V_α peut être défini par récurrence transfinie ainsi :

• On définit V₀ comme l'ensemble vide :

  $V_{0}:=\varnothing$.

• Étant donné un nombre ordinal β, on définit V_β+1 comme l'ensemble des parties de V_β :

  $V_{\beta +1}:={\mathcal {P}}(V_{\beta })$.

• Étant donné un ordinal limite λ, on définit V_λ comme l'union de toutes les étapes précédentes :

  $V_{\lambda }:=\bigcup _{\beta <\lambda }V_{\beta }$.

Avec cette définition, il y a une seule formule φ(α,x) dans le langage de ZFC pour exprimer que « l'ensemble x appartient à V_α ».

Les ensembles V_α sont appelés étapes (stages en anglais). L'univers V dans son ensemble est défini comme l'union de toutes les étapes :

$V:=\bigcup _{\alpha }V_{\alpha }$.

Voici une représentation graphique des premières étapes finies V₀ jusqu'à V₄. Le carré vide représente l'ensemble vide, un carré contenant ce carré vide représente l'ensemble ne contenant que l'ensemble vide, et ainsi de suite :

Les 5 premières étapes

Une définition équivalente et plus compacte des étapes consiste à écrire :

$V_{\alpha }:=\bigcup _{\beta <\alpha }{\mathcal {P}}(V_{\beta })$

pour chaque ordinal α, où ${\mathcal {P}}(X)\!$ est l'ensemble des parties de $X$.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Von Neumann universe » (voir la liste des auteurs).

Références

• Dmitry Mirimanoff, « Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le problème fondamental de la théorie des ensembles », L'Enseignement mathématique, vol. 19,‎ 1917, p. 37 à 52
• (en) Gregory H Moore, Zermelo's axiom of choice: Its origins, development & influence, Dover Publications, 2013 (1^re éd. 1982) (ISBN 978-0-486-48841-7)
• (en) Jean E. Rubin, Set Theory for the Mathematician, San Francisco, Holden-Day, 1967 (ASIN B0006BQH7S, lire en ligne )

Articles connexes

• Univers (logique)
• Univers constructible de Gödel
• Univers de Grothendieck
• Cardinal inaccessible