Topologie finale

En mathématiques et plus précisément en topologie, la topologie finale, sur un ensemble d'arrivée commun à une famille d'applications définies chacune sur un espace topologique, est la topologie la plus fine pour laquelle toutes ces applications sont continues. La notion duale est celle de topologie initiale.

Définition

Soient X un ensemble, (Y_i)_i∈I une famille d'espaces topologiques et pour chaque indice i ∈ I, une application f_i : Y_i → X.

La topologie finale sur X associée à la famille (f_i)_i∈I est la plus fine des topologies sur X pour lesquelles chaque f_i est continue.

Autrement dit : une partie U de X est un ouvert de cette topologie si et seulement si pour tout i ∈ I, f_i⁻¹(U) est un ouvert de Y_i.

Exemples

• Si la famille (Y_i)_i∈I est réduite à un seul espace Y, muni d'une relation d'équivalence ∼, la topologie quotient est la topologie finale associée à la surjection canonique de Y sur l'ensemble quotient X = Y/∼.
• La somme topologique (en) d'une famille d'espaces est la topologie finale associée aux injections canoniques de ces espaces dans leur réunion disjointe.
• Plus généralement, la topologie cohérente sur un ensemble dont certaines parties sont munies de topologies est la topologie finale associée à ces données.
• La limite inductive d'un système inductif d'espaces topologiques est la limite inductive ensembliste, munie de la topologie finale déterminée par les applications canoniques.
• Dans le treillis des topologies sur un ensemble X, la borne inférieure d'une famille (τ_i)_i∈I, c'est-à-dire l'intersection des topologies τ_i (vues comme ensembles d'ouverts), est la topologie finale associée aux fonctions id_X : (X, τ_i) → X.
• L'espace étalé d'un faisceau est muni d'une topologie finale.

Propriétés

Propriété caractéristique de la topologie finale.

Une partie F de X est un fermé de cette topologie si et seulement si pour tout i ∈ I, f_i⁻¹(F) est un fermé de Y_i.

Cette topologie finale peut être caractérisée par la propriété universelle suivante : une application g de X dans un espace Z est continue si et seulement si pour tout i ∈ I, g∘f_i est continue.

Si les images des f_i forment un recouvrement de X alors X, muni de la topologie finale, est canoniquement un quotient de la somme topologique ∐_i∈IY_i.

Description en termes de catégories

Dans le langage de la théorie des catégories, la construction de la topologie finale peut être décrite comme suit. Soit Y un foncteur, d'une catégorie discrète I dans la catégorie des espaces topologiques Top, c'est-à-dire la donnée, pour chaque objet i de I, d'un espace topologique Y_i. Soit Δ le foncteur diagonal (en) de Top dans la catégorie de foncteurs Top^I (Δ envoie tout espace X sur le foncteur constant X). La catégorie comma (en) (Y ↓ Δ) est alors la catégorie des cônes (en) sur Y, dont les objets sont les couples (X, f) où f est une famille d'applications continues f_i : Y_i → X. Si U désigne le foncteur d'oubli de Top dans Set et Δ' le foncteur diagonal de Set dans Set^I, alors la catégorie comma (UY ↓ Δ') est la catégorie de tous les cônes sur UY. La construction de la topologie finale peut alors être décrite comme un foncteur de (UY ↓ Δ') dans (Y ↓ Δ), adjoint à gauche du foncteur d'oubli correspondant.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Final topology » (voir la liste des auteurs).
• (en) Stephen Willard, General Topology, Dover, 2012 (1^re éd. 1970) (ISBN 978-0-48613178-8, lire en ligne)

Article connexe

Objet initial et objet final