Injection canonique

$A$ est une partie de $B.$

En mathématiques, pour B un ensemble et A une partie de B, l'injection canonique (ou inclusion canonique ou insertion) de A dans B est l'application qui à x associe x. $$\iota :A\rightarrow B,\qquad \iota (x)=x.$$

Par exemple, lorsque A = B, l'injection canonique n'est autre que l'application identité de B.

Pour désigner l'injection canonique, on utilise parfois la flèche avec un crochet (U+21AA ↪ rightwards arrow with hook ) soit : $$\iota :A\hookrightarrow B.$$

Cette fonction et toutes les fonctions injectives qui lui sont analogues sont appelées injections naturelles.

Pour tout morphisme $f$ donné entre des objets $X$ et $Y$, s'il existe une injection canonique $\iota :A\to X$ dans le domaine $X$, alors on peut construire une restriction $f\circ \iota$ de $f.$ Dans plusieurs cas, on peut aussi construire une injection canonique vers le codomaine $R\to Y$, connu comme le rang de $f.$

Applications des inclusions canoniques

Les inclusions canoniques ont tendance à être des homéomorphismes de structures algébriques ; ainsi, ces injection canoniques d'inclusion sont des plongements. Plus précisément, étant donné une sous-structure fermée sous certaines opérations, l'injection canonique sera un plongement pour des raisons tautologiques. Par exemple, pour une opération binaire $\star ,$ telle que $$\iota (x\star y)=\iota (x)\star \iota (y)$$ revient simplement à dire que $\star$ est calculé de manière cohérente dans la sous-structure et dans la grande structure. Le cas d'une opération unaire est similaire, mais il faut également considérer les opérations nullaires, qui sélectionnent un élément « constant ». Ici, le point important est que la fermeture signifie que ces constantes doivent déjà être données dans la sous-structure.

Les applications d'inclusion sont observées en topologie algébrique où, si $A$ est une rétraction de forte déformation de $X,$ l'application d'inclusion donne un isomorphisme entre tous les groupes d'homotopie (c'est-à-dire qu'il s'agit d'une équivalence d'homotopie).

Les applications d'inclusion en géométrie peuvent être de différents types : par exemple, les plongements de sous-variétés. Les objets contravariants (c'est-à-dire les objets qui ont des pullback ; ceux-ci sont appelés covariants dans une terminologie plus ancienne et sans rapport) tels que les formes différentielles se « restreignent » aux sous-variétés, donnant une application dans l'« autre sens ». Un autre exemple, plus sophistiqué, est celui des schémas affines, pour lesquels les inclusions $$\operatorname {Spec} \left(R/I\right)\to \operatorname {Spec} (R)$$ et $$\operatorname {Spec} \left(R/I^{2}\right)\to \operatorname {Spec} (R)$$ peuvent être des morphismes différents, où $R$ est un anneau commutatif et $I$ est un idéal de $R.$

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Inclusion map » (voir la liste des auteurs).

Jean Marie Monier, Algèbre PCSI-PTSI, Dunod, 2007, 4^e éd., p. 21-22