Théorème des zéros de Hilbert

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Le théorème des zéros de Hilbert, parfois appelé Nullstellensatz, est un théorème d'algèbre commutative qui est à la base du lien entre les idéaux et les variétés algébriques. Il a été démontré par le mathématicien allemand David Hilbert.

Énoncés[modifier | modifier le code]

Une algèbre de type fini sur K est un anneau quotient d'un anneau de polynômes K[X1,…,Xn] par un idéal. Sa structure de K-algèbre est induite par celle de K[X1,…,Xn]. On note Spm A le spectre maximal d'un anneau A, c'est-à-dire l'ensemble des idéaux maximaux de A.

Il existe plusieurs formulations du théorème des zéros de Hilbert.

Théorème 1 (Lemme de Zariski). Soient K un corps et A une K-algèbre de type fini. Alors tout quotient de A par un idéal maximal est une extension finie de K.

De façon équivalente : si A est un corps, alors c'est une extension algébrique finie de K. Ce théorème, dont la démonstration est relativement longue, a plusieurs conséquences immédiates.

Théorème 2 (Nullstellensatz faible). Supposons que est algébriquement clos. Alors la fonction

est une bijection, où désigne l'idéal engendré par les .

Autrement dit, un point de s'identifie avec un idéal maximal de polynômes à indéterminées sur quand est algébriquement clos.

Théorème 3 (Existence des zéros). Si K est un corps algébriquement clos, alors pour tout idéal propre de K[X1,…,Xn], il existe un point de Kn racine de tout élément de .

Ce résultat n'est pas vrai si K n'est pas algébriquement clos. L'idéal M des multiples de X2 + 1 est maximal dans ℝ[X] puisque le quotient de ℝ[X] par M est un corps isomorphe à ℂ, pourtant le polynôme n'admet pas de racine dans ℝ.

Théorème 4. Soit un idéal d'une algèbre de type fini A sur K. Alors le radical I de est égal à l'intersection des idéaux maximaux de A contenant .

Si est un polynôme appartenant à K[X1,…,Xn], les zéros de dans Kn sont les points tels que .

Corollaire (Nullstellensatz fort). Supposons K algébriquement clos. Soient un idéal de K[X1,…,Xn] et l'ensemble des zéros communs des polynômes de . Si est un polynôme dans K[X1,…,Xn] qui s'annule sur , alors une puissance de appartient à .

Le théorème 2 sur la structure des idéaux maximaux est faux sur un corps non algébriquement clos (même en une variable). Cependant, la propriété plus faible suivante subsiste :

  • Tout idéal maximal de K[X1,…,Xn] (K non nécessairement clos) est engendré par polynômes.

Par la théorie de la dimension de Krull, on sait qu'aucun idéal maximal de K[X1,…,Xn] ne peut être engendré par strictement moins que éléments.

Théorème de Bézout[modifier | modifier le code]

Une forme particulière du théorème des zéros est le théorème d'existence des zéros (th. 3 ci-dessus) qui, par contraposée, peut se reformuler ainsi :

  • Soit K un corps algébriquement clos, soient des polynômes sans zéros communs. Alors il existe vérifiant l'identité de Bézout

L'astuce de Rabinowitsch[1] montre que ce cas particulier du Nullstellensatz fort implique le cas général. En effet si, dans K[X1,…,Xn], est l'idéal engendré par et est un polynôme qui s'annule sur , on considère l'idéal de K[X0,X1,…,Xn] engendré par et par le polynôme . Cet idéal n'a pas de zéros communs dans Kn+1. Donc il existe tels que l'on ait

En remplaçant dans cette identité par , et en multipliant les deux côtés par une puissance convenable de , on voit que cette puissance de appartient à . De plus, on peut majorer par le maximum des degrés totaux de .

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (de) J. L. Rabinowitsch, « Zum Hilbertschen Nullstellensatz », Math. Ann., vol. 102,‎ , p. 520 (lire en ligne)

Articles connexes[modifier | modifier le code]