Théorème d'Abel (analyse)

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En mathématiques, le théorème d'Abel, ou théorème de convergence radiale d'Abel, nommé d'après Niels Henrik Abel, est un outil central de l'étude des séries entières.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème — Si une série entière converge en un point , alors la convergence est uniforme sur (donc la fonction somme de la série est continue sur ce segment).

La démonstration[1] repose sur la méthode classique de sommation par parties, équivalente à l'intégration par parties pour les intégrales.

Remarque : dans le cas où la série est absolument convergente, le résultat est trivial. En effet, sous cette hypothèse, converge même normalement sur le disque fermé de centre et de rayon .

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Soit la série de Mercator
    pour .
    Comme la série harmonique alternée converge (d'après le critère de convergence des séries alternées), on déduit sa somme du théorème d'Abel :
    .
  • Soit
    pour .
    Encore par le critère de convergence des séries alternées, on peut affirmer que converge, d'où la formule de Leibniz :
    .
  • Soient et deux séries convergentes et leur produit de Cauchy :
    .
    On déduit du théorème d'Abel[2] que si la série converge alors sa somme est égale au produit des deux sommes et  :
    .

Réciproque partielle[modifier | modifier le code]

Tauber (de)[3] a démontré en 1897[4] que sous l'hypothèse an = o(1/n), si la limite radiale existe, alors la série converge et lui est égale. Ce résultat a été amélioré par Littlewood : l'hypothèse an = O(1/n) suffit[5]. Le théorème taubérien de Hardy-Littlewood (en) en est une généralisation.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Voir par exemple la section correspondante de la leçon « Série entière » sur la Wikiversité.
  2. Voir par exemple le chapitre « Produit de Cauchy » de la leçon sur les séries sur la Wikiversité.
  3. (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Alfred Tauber », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne).
  4. (de) A. Tauber, « Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen », Monatshefte für Mathematik (de), vol. 8,‎ , p. 273-277 (lire en ligne).
  5. Ceci fournit un autre argument pour traiter les deux premiers exemples ci-dessus.

Articles connexes[modifier | modifier le code]