Subdivision d'un intervalle

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En mathématiques, une subdivision d'un segment [a, b] de la droite réelle est une suite finie de la forme

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b.

De telles subdivisions sont utilisées dans les théories de l'intégrale de Riemann, l'intégrale de Stieltjes et l'intégrale d'une fonction réglée.

Vocabulaire[modifier | modifier le code]

  • Une telle subdivision est dite adaptée à une fonction en escalier f sur [a, b] si f est constante sur chaque sous-intervalle ]xi – 1, xi[, pour i = 1, … , n.
  • Un raffinement d'une subdivision P est une subdivision Q du même intervalle, formée en rajoutant des points. On dit alors que Q est plus fine que P. On définit ainsi un ordre partiel sur les subdivisions d'un intervalle.
  • Le raffinement commun de deux subdivisions est la subdivision formée en prenant la réunion des deux ensembles de points et en les renumérotant par ordre croissant.
  • Un marquage d'une subdivision x0 < x1 < x2 < ... < xn est la donnée supplémentaire d'un point dans chaque sous-intervalle, c'est-à-dire de points ti ∈ [xi – 1, xi], pour i = 1, … , n. À toute fonction f sur un intervalle et toute subdivision marquée de cet intervalle est associée une somme de Riemann.
  • De même que pour les subdivisions, on définit un ordre partiel naturel sur les subdivisions marquées.
  • Le pas d'une subdivision x0 < x1 < x2 < ... < xn est la plus grande des longueurs des sous-intervalles, c'est-à-dire : max{ |xixi – 1| : i = 1, … , n }. L'intégrale de Riemann de f est (si elle existe) la limite des sommes de Riemann quand le pas tend vers 0.

Généralisation en dimensions supérieures[modifier | modifier le code]

Pour définir les intégrales multiples de Riemann, la généralisation en dimension n[1]

  • … d'un segment est un pavé fermé, c'est-à-dire un produit P = I1 × … × In de n segments Ij = [aj, bj] (par exemple un parallélogramme si n = 2 ou un parallélépipède si n = 3).
  • Le volume de P est le produit des longueurs de ces segments : vol(P) = ∏1 ≤ jn (bj – aj).
  • Le diamètre de P est le maximum de ces longueurs : δ(P) := max1 ≤ jn (bj – aj).
  • L'intérieur de P est le pavé ouvert produit des intervalles ouverts bornés ]aj, bj[.
  • Une subdivision de P est une famille finie u = (Pk)1 ≤ kM de pavés fermés dont les intérieurs sont disjoints et dont la réunion est égale à P. On a alors : vol(P) = ∑1 ≤ kM vol(Pk).
  • Le pas de u est δ(u) := max1 ≤ kM δ(Pk).
  • Un marquage de u est le choix d'un point dans chaque Pk.
  • Un raffinement de u est une subdivision v = (Q)1 ≤ N telle que chaque Pk soit une réunion de certains Q.

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Partition of an interval » (voir la liste des auteurs), dont la référence était (en) Russell A. Gordon, The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock (en), AMS, coll. « GSM (en) » (no 4), (ISBN 978-0-8218-3805-1, lire en ligne).

  1. Jean-Pierre Ramis, André Warusfel et al., Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 3, Dunod, (lire en ligne), p. 127-129.