q-analogue

En mathématiques, plus précisément dans le domaine de la combinatoire, un q-analogue d'un théorème, d'une identité ou d'une expression est une généralisation impliquant un nouveau paramètre q et qui se spécialise en le théorème originel lorsque l'on prend la limite quand q tend vers 1. Typiquement, les mathématiciens sont intéressés par les cas où un q-analogue intervient naturellement, plutôt que par les cas où on ajoute arbitrairement un paramètre q à un théorème déjà connu. Les premiers q-analogues étudiés en détail furent les séries hypergéométriques basiques, qui furent introduites au XIX^e siècle^[1].

Les q-analogues trouvent des applications dans plusieurs domaines, incluant l'étude des fractales, la théorie des nombres, et des expressions de l'entropie de systèmes dynamiques chaotiques. Les q-analogues apparaissent aussi dans l'étude des groupes quantiques et des superalgèbres q-déformées^{[réf. souhaitée]}.

Il y a deux groupes principaux de q-analogues : les q-analogues classiques, qui furent introduits dans le travail de Leonhard Euler et furent ensuite étendus par Frank Hilton Jackson^[2], et les q-analogues non classiques^[3].

q-théorie classique[modifier | modifier le code]

q-dérivée[modifier | modifier le code]

La dérivée d'une fonction de variable réelle $f$ en $x$ est la limite du taux d'accroissement $\tau ={\frac {f(x')-f(x)}{x'-x}}$ quand $x'$ tend vers $x$ , et on appelle traditionnellement $h$ la différence $x'-x$ de sorte que $\tau ={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$ . Mais, pour $x$ non nul, on peut aussi noter $q$ le quotient $x'/x$ de sorte que $\tau ={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}$ . C'est ce dernier quotient qui est appelé la q-dérivée de $f$ en $x$ , laquelle tend bien vers $f'(x)$ quand $q$ tend vers 1, si $f$ est dérivable en $x$ ^[4]. On note alors que la q-dérivée de la fonction $x\mapsto x^{n}$ vaut ${\frac {q^{n}-1}{q-1}}x^{n-1}$ , qui tend bien vers la dérivée $nx^{n-1}$ lorsque $q$ tend vers 1. Ceci justifie les définitions suivantes.

q-entier[modifier | modifier le code]

On définit le q-analogue de l'entier positif $n$ ^[3] par :

[n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}={\frac {q^{n}-1}{q-1}}=1+q+q^{2}+\ldots +q^{n-1}.

q-factorielle[modifier | modifier le code]

On définit alors naturellement le q-analogue de la factorielle de l'entier $n$ par :

$n!_{q}$	$=[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}$
	$={\frac {1-q}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}$
	$=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).$

Ce q-analogue de la factorielle possède l'interprétation combinatoire suivante : alors que $n!$ est le nombre de permutations d'ordre $n$ , $n!_{q}$ compte ces mêmes permutations en gardant trace du nombre d'inversions. C'est-à-dire que si l'on note ${\text{inv}}(\sigma )$ le nombre d'inversions de la permutation $\sigma$ et $S_{n}$ l'ensemble des permutations d'ordre n, on a : $\sum _{\sigma \in S_{n}}q^{{\text{inv}}(\sigma )}=n!_{q}$ .

La q-factorielle a aussi une écriture concise en termes de q-symboles de Pochhammer :

n!_{q}={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}

.

La fonction q-gamma prolonge la q-factorielle aux nombres réels.

Coefficients q-binomiaux[modifier | modifier le code]

À partir de la q-factorielle, on définit les coefficients q-binomiaux ou coefficients binomiaux de Gauss ^[5], q-analogues des coefficients binomiaux :

{\binom {n}{k}}_{q}={\frac {n!_{q}}{(n-k)!_{q}k!_{q}}}

, notés aussi

\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{q}

^[6].

Cela permet aussi de définir un q-analogue de l'exponentielle (en)

e_{q}^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}

,

puis de définir des q-analogues des fonctions trigonométriques et hyperboliques, ainsi qu'un q-analogue de la transformée de Fourier.

q-analogues non classiques[modifier | modifier le code]

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Applications[modifier | modifier le code]

Article connexe : Corps à un élément.

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Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « q-analog » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) Harold Exton, q-Hypergeometric Functions and Applications, E. Horwood, 1983 (ISBN 978-0-85312491-7).
↑ (en) F. H. Jackson, « On q-functions and a certain difference operator », Trans. Roy. Soc. Edin., vol. 46, 1908, p. 253-281.
↑ ^{a et b} (en) Thomas Ernst, « A method for q-calculus », JNMP, vol. 10, n^o 4,‎ 2003, p. 487-525 (lire en ligne).
↑ (en) Victor Kac et Pokman Cheung, Quantum Calculus, Springer, 2002 (lire en ligne), chapitre 1
↑ (en) George Pólya et Gábor Szegő, Problems and Theorems in Analysis, vol. I, Springer, 1997 (1^re éd. 1972) (lire en ligne), p. 11. En note en bas de cette page 11 il est écrit : « Cf. C. F. Gauss: Summatio quarundam serierum singularium, Opera, Vol. 2, especially p. 16–17. »
↑ Cf. par exemple (en) Eric W. Weisstein, « q-binomial coefficient », sur MathWorld ou (en) « Umbral calculus », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).