Polynômes de Bernoulli En mathématiques , les polynômes de Bernoulli apparaissent dans l'étude de beaucoup de fonctions spéciales et en particulier, la fonction zêta de Riemann ; des polynômes analogues, correspondant à une fonction génératrice voisine, sont connus sous le nom de polynômes d'Euler .
Définition Les polynômes de Bernoulli sont l'unique suite de polynômes
(
B
n
)
n
∈
N
{\displaystyle \left(B_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}
B
0
=
1
{\displaystyle B_{0}=1}
∀
n
∈
N
,
B
n
+
1
′
=
(
n
+
1
)
B
n
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,B'_{n+1}=(n+1)B_{n}}
∀
n
∈
N
∗
,
∫
0
1
B
n
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*},\int _{0}^{1}B_{n}(x)dx=0}
Fonctions génératrices La fonction génératrice pour les polynômes de Bernoulli est
t
e
x
t
e
t
−
1
=
∑
n
=
0
∞
B
n
(
x
)
t
n
n
!
{\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}}
La fonction génératrice pour les polynômes d'Euler est
2
e
x
t
e
t
+
1
=
∑
n
=
0
∞
E
n
(
x
)
t
n
n
!
{\displaystyle {\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}}
Les nombres d'Euler et de Bernoulli Les nombres de Bernoulli sont donnés par
B
n
=
B
n
(
0
)
{\displaystyle B_{n}=B_{n}(0)}
Les nombres d'Euler sont donnés par
E
n
=
2
n
E
n
(
1
/
2
)
{\displaystyle E_{n}=2^{n}E_{n}(1/2)}
Expressions explicites pour les petits ordres Propriétés des polynômes de Bernoulli Différences Les polynômes de Bernoulli et d'Euler obéissent à beaucoup de relations du calcul ombral utilisé par Édouard Lucas , par exemple.
B
n
(
x
+
1
)
−
B
n
(
x
)
=
n
x
n
−
1
{\displaystyle B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1}\,}
E
n
(
x
+
1
)
+
E
n
(
x
)
=
2
x
n
{\displaystyle E_{n}(x+1)+E_{n}(x)=2x^{n}\,}
Dérivées
B
n
′
(
x
)
=
n
B
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle B_{n}'(x)=nB_{n-1}(x)\,}
E
n
′
(
x
)
=
n
E
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle E_{n}'(x)=nE_{n-1}(x)\,}
Translations
B
n
(
x
+
y
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
B
k
(
x
)
y
n
−
k
{\displaystyle B_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}(x)y^{n-k}}
E
n
(
x
+
y
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
E
k
(
x
)
y
n
−
k
{\displaystyle E_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}E_{k}(x)y^{n-k}}
Symétries
B
n
(
1
−
x
)
=
(
−
1
)
n
B
n
(
x
)
{\displaystyle B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x)}
E
n
(
1
−
x
)
=
(
−
1
)
n
E
n
(
x
)
{\displaystyle E_{n}(1-x)=(-1)^{n}E_{n}(x)}
(
−
1
)
n
B
n
(
−
x
)
=
B
n
(
x
)
+
n
x
n
−
1
{\displaystyle (-1)^{n}B_{n}(-x)=B_{n}(x)+nx^{n-1}}
(
−
1
)
n
E
n
(
−
x
)
=
−
E
n
(
x
)
+
2
x
n
{\displaystyle (-1)^{n}E_{n}(-x)=-E_{n}(x)+2x^{n}}
Autres propriétés
∀
n
∈
N
,
B
n
(
x
)
=
2
n
−
1
(
B
n
(
x
2
)
+
B
n
(
x
+
1
2
)
)
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,B_{n}(x)=2^{n-1}\left(B_{n}\left({\frac {x}{2}}\right)+B_{n}\left({\frac {x+1}{2}}\right)\right)}
∀
p
∈
N
,
∀
n
∈
N
,
∑
k
=
0
n
k
p
=
B
p
+
1
(
n
+
1
)
−
B
p
+
1
(
0
)
p
+
1
{\displaystyle \forall p\in \mathbb {N} ,\forall n\in \mathbb {N} ,\sum _{k=0}^{n}k^{p}={\frac {B_{p+1}(n+1)-B_{p+1}(0)}{p+1}}}
Cette dernière égalité, déduite de la formule de Faulhaber , vient de l'égalité :
∫
x
x
+
1
B
n
(
t
)
d
t
=
x
n
{\displaystyle \int _{x}^{x+1}B_{n}(t)\,\mathrm {d} t=x^{n}}
somme télescopique
∑
k
=
0
n
(
B
m
(
k
+
1
)
−
B
m
(
k
)
)
=
B
m
(
n
+
1
)
−
B
m
(
0
)
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\left(B_{m}(k+1)-B_{m}(k)\right)=B_{m}(n+1)-B_{m}(0)}
.
Valeurs particulières Les nombres
B
n
=
B
n
(
0
)
{\displaystyle B_{n}=B_{n}(0)}
nombres de Bernoulli .
∀
n
>
1
,
B
n
(
0
)
=
B
n
(
1
)
{\displaystyle \forall n>1,\quad B_{n}(0)=B_{n}(1)}
Les nombres de Bernoulli de rang impair différent de 1 sont nuls :
∀
p
∈
N
∗
B
2
p
+
1
(
0
)
=
B
2
p
+
1
(
1
)
=
0
{\displaystyle \forall p\in \mathbb {N} ^{*}\quad B_{2p+1}(0)=B_{2p+1}(1)=0}
∀
p
∈
N
B
2
p
+
1
(
1
2
)
=
0
{\displaystyle \forall p\in \mathbb {N} \quad B_{2p+1}\left({\frac {1}{2}}\right)=0}
∀
p
∈
N
B
2
p
(
1
2
)
=
(
1
2
2
p
−
1
−
1
)
B
2
p
{\displaystyle \forall p\in \mathbb {N} \quad B_{2p}\left({\frac {1}{2}}\right)=\left({\frac {1}{2^{2p-1}}}-1\right)B_{2p}}
Série de Fourier La série de Fourier des polynômes de Bernoulli est aussi une série de Dirichlet , donnée par le développement[ 1]
B
n
(
x
)
=
−
n
!
(
2
π
i
)
n
∑
k
∈
Z
k
≠
0
e
2
π
i
k
x
k
n
=
−
n
!
∑
k
=
1
∞
e
2
π
i
k
x
+
(
−
1
)
n
e
−
2
π
i
k
x
(
2
π
i
k
)
n
=
−
2
n
!
∑
k
=
1
∞
cos
(
2
k
π
x
−
n
π
2
)
(
2
k
π
)
n
{\displaystyle B_{n}(x)=-{\frac {n!}{(2\pi \mathrm {i} )^{n}}}\sum _{k\in \mathbb {Z} \atop k\neq 0}{\frac {\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} kx}}{k^{n}}}=-n!\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} kx}+(-1)^{n}\mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} kx}}{(2\pi \mathrm {i} k)^{n}}}=-2\,n!\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2k\pi x-{\frac {n\pi }{2}}\right)}{(2k\pi )^{n}}}}
valide seulement pour 0 ≤ x ≤ 1 lorsque n ≥ 2 et pour 0 < x < 1 lorsque n = 1.
C'est un cas particulier de la formule de Hurwitz .
Notes et références
↑ (en) Tsuneo Arakawa, Tomoyoshi Ibukiyama et Masanobu Kaneko, Bernoulli Numbers and Zeta Functions , Springer , 2014 (lire en ligne ) , p. 61 Voir aussi Bibliographie Articles connexes 
