Formule de Faulhaber

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En mathématiques, la formule de Faulhaber, nommée en l'honneur de Johann Faulhaber, exprime la somme

comme une fonction polynomiale de n de degré p + 1[1], les coefficients impliquant les nombres de Bernoulli :

Les coefficients qui apparaissent sont les coefficients binomiaux (aussi notés ).

Énoncé de la formule[modifier | modifier le code]

Dans la convention la plus usuelle, les nombres de Bernoulli sont

Dans l'article, nous suivrons une convention vue moins souvent, , tous les autres nombres de Bernoulli restant comme ci-dessus.

La formule de Faulhaber s'écrit (avec et ) :

{avec plutôt que ).

Faulhaber ne connaissait pas la formule sous cette forme, qui a été découverte par Jacques Bernoulli. Il connaissait au moins l'expression dans les 17 premiers cas, et le fait que lorsque l'exposant est impair, alors la somme est une fonction polynomiale de la somme dans le cas particulier où l'exposant est 1. Dans ses calculs, il doit manipuler la factorielle n! jusqu'à 24!, ce qui illustre son remarquable talent de calculateur, qu'il partage avec son correspondant Ludolph van Ceulen. Il est remarquable surtout par son anticipation des sommes multiples discrètes à une époque où l'analyse balbutie. Il utilise la k-symétrie, et donne aussi certaines généralisations remarquables[2].

Exemples[modifier | modifier le code]

Une autre forme[modifier | modifier le code]

On peut voir la formule énoncée avec des termes allant de 0 à n - 1 plutôt que de 1 à n. Dans ce cas, la seule chose qui change est que nous prenons B1 = −1/2 plutôt que +1/2, donc le terme de deuxième plus haut degré dans chaque cas possède un signe moins plutôt qu'un signe plus.

La formule est valide y compris pour p = 0 (avec p et n entiers naturels) :

Relation avec les polynômes de Bernoulli[modifier | modifier le code]

On peut écrire (pour p et n entiers naturels) :

est le j-ième polynôme de Bernoulli.

On a le nombre de Bernoulli de rang j (avec ).

Forme symbolique[modifier | modifier le code]

Dans le calcul ombral classique, on traite formellement les indices j dans une suite Bj comme s'ils étaient des exposants, c’est-à-dire que, dans ce cas, on applique la formule du binôme de Newton, ce qui donne

Dans le calcul ombral « moderne », on considère la forme linéaire T sur l'espace vectoriel des polynômes de variable b donnée par

On peut alors écrire

Polynômes de Faulhaber[modifier | modifier le code]

La locution « polynômes de Faulhaber » est utilisée par certains auteurs pour faire référence à une autre entité que la suite de polynômes donnée ci-dessus.

Faulhaber a observé (sans en donner de preuve) que si p est impair, alors

est une fonction polynomiale de

En particulier

(et donc )

Quelques auteurs appellent ces polynômes P(y), avec y = n(n+1)/2, « polynômes de Faulhaber » ; Donald Knuth a donné des démonstrations de ces résultats (et d'autres les généralisant encore) en n'utilisant que des méthodes que Faulhaber maîtrisait[2].

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Faulhaber's formula » (voir la liste des auteurs).

  1. Nulle en n = 0 (cf. « Somme vide ») donc produit de n par une fonction polynomiale de degré p.
  2. a et b (en) Donald E. Knuth, « Johann Faulhaber and sums of powers », Math. Comp., vol. 61,‎ , p. 277-294 (lire en ligne).

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Faulhaber's Formula », MathWorld