Partition de l'unité

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En première approche, on peut dire qu'une partition de l'unité est une famille de fonctions positives (\phi_i)_{i\in I} telles que, en chaque point, la somme sur toutes les fonctions des valeurs prises par chacune d'elle vaille 1 :  \sum_{i\in I} \phi_i(x) = 1.

Plus précisément, si X est l'espace topologique sur lequel sont définies les fonctions de la partition, on imposera que la somme des fonctions ait un sens, c'est-à-dire que pour tout x\in X, la famille (\phi_i)_{i\in I} soit sommable. De façon usuelle, on impose une condition encore plus forte, à savoir qu'en tout point x de X, seul un nombre fini des \phi_i soient non nulles. On parle alors de partition localement finie.

On impose en général aussi des conditions de régularité sur les fonctions de la partition, de façon habituelle soit simplement que les fonctions soient continues et alors on parle de partition continue de l'unité, soit indéfiniment dérivables et alors on parle de partition C de l'unité.

Ces conditions, en général précisées par le contexte, sont habituellement sous-entendues. Et on utilisera l'expression partition de l'unité pour désigner une partition continue de l'unité localement finie ou bien une partition C de l'unité localement finie.

Les partitions de l'unité sont utiles car elles permettent souvent d'étendre des propriétés locales à l'espace tout entier. Bien sûr, ce sont les théorèmes d'existence qui font de cette notion un outil pratique.

Définitions[modifier | modifier le code]

Définition d'une partition continue de l'unité localement finie[modifier | modifier le code]

Définition 1 — On appelle partition de l'unité d'un espace topologique X, une famille (\phi_i)_{i\in I} de fonctions continues, définies sur X et à valeur dans l'intervalle [0, 1], telles que pour tout point x\in X, les deux conditions suivantes soient satisfaites :

  • il existe un voisinage de x tel que toutes les fonctions \phi_i soient nulles sur ce voisinage à l'exception d'un nombre fini d'entre elles ;
  • la somme de toutes les valeurs prises par les fonctions \phi_i en x soit égale à 1, c'est-à-dire : \sum_{i\in I}\phi_i(x)=1 pour tout x\in X.

Définition d'une partition subordonnée à un recouvrement[modifier | modifier le code]

Soient X un espace topologique et (U_i)_{i \in I} un recouvrement ouvert localement fini de cet espace.

Définition 2 — On appelle partition de l'unité subordonnée au recouvrement (U_i)_{i\in I}, une partition de l'unité (\phi_i)_{i\in I} au sens de la définition 1, indexée par le même ensemble I que le recouvrement, et telle qu'en outre, pour tout i\in I, le support de \phi_i soit inclus dans U_i.

Théorèmes d'existence[modifier | modifier le code]

Parmi toutes les formulations possibles des théorèmes d'existence, nous proposons ci-dessous deux variantes. Nous empruntons la première variante à N. Bourbaki[1] et la deuxième à Laurent Schwartz[2].

Théorème 1 — Soit X un espace normal. Pour tout recouvrement ouvert localement fini (U_i)_{i \in I} de X, il existe une partition continue de l'unité subordonnée au recouvrement (U_i)_{i \in I}.

Remarque. Dans le cas particulier où X est métrisable, il suffit de poser

\phi_i(x)=\frac{d(x,X\setminus U_i)}{\sum_{j\in I}d(x,X\setminus U_j)}[3].

Théorème 2 — Soit \Omega un ouvert de \R^n. Pour tout recouvrement ouvert (\Omega_i)_{i\in I} de \Omega, il existe

  • une partition C de l'unité (\alpha_j)_{j\in J} de \Omega, telle que le support de chaque \alpha_j est compact et inclus dans l'un des \Omega_i ;
  • une partition C de l'unité (\phi_i)_{i\in I} subordonnée au recouvrement (\Omega_i)_{i\in I}, et telle que sur tout compact de \Omega, seul un nombre fini des \phi_i ne sont pas identiquement nulles.

Le premier théorème montre que le fait qu'un espace soit normal est une condition suffisante pour l'existence de partitions de l'unité subordonnées à un recouvrement ouvert localement fini. Le second, démontré ici dans un cas particulier mais qui se généralise à tout espace paracompact, fournit des partitions de l'unité subordonnées à un recouvrement ouvert quelconque. Ces deux formulations montrent que l'on peut en général choisir soit d'avoir le support indexé par le recouvrement d'ouverts ou bien le support compact.

Exemples de partition de l'unité de l'axe réel[modifier | modifier le code]

  • L'existence de partitions de l'unité continues ou même dérivables est assez intuitive. Il est facile d'en construire. On considère, par exemple, la fonction
r(x)=\begin{cases} \frac{\cos(\pi x) + 1}{2}, & -1 < x <1,\\
0, & x \leqslant  -1 \text{ ou } x \geqslant 1.\end{cases}

On vérifie aisément que la famille des fonctions f_i, i \in\Z définies par

f_i(x)= r(x-i) constitue une partition de l'unité dérivable de \R subordonnée au recouvrement ouvert ]i - 1,i + 1[, i \in\Z.
  • Voici maintenant un exemple de construction d'une partition de l'unité indéfiniment dérivable.

On considère la fonction

r(x)=\begin{cases} \exp \left(- x^{-2} \right), & x > 0,\\
0, & x \leqslant 0.\end{cases}

Elle est indéfiniment dérivable sur \R. Par conséquent, la fonction s définie par

s(x) = r (x+1)r(1-x)

est, elle aussi, indéfiniment différentiable sur \R, strictement positive dans l'intervalle ]–1, 1[ et identiquement nulle en dehors. On considère alors la famille des fonctions f_i, i \in\Z définies par

f_i(x)= \frac{s(x-i)}{\sum_{k \in\Z} s(x-k)}.

On remarque que la définition est cohérente : en effet, chaque point x se trouve à l'intérieur d'au moins l'un des intervalles de la famille ]i - 1,i + 1[, i \in\Z (en fait chaque point se trouve à l'intérieur de deux intervalles, sauf les entiers qui ne se trouvent à l'intérieur que d'un seul intervalle). Et donc en chaque point x, l'un au moins des éléments de la somme est strictement positif. Donc le dénominateur n'est jamais nul.

On vérifie aussi aisément qu'en chaque point x

 \sum_{i \in \Z} f_i(x)=1.

La famille des  f_i, i \in\Z forme donc bien une partition de l'unité de l'axe réel, indéfiniment dérivable, et subordonnée au recouvrement ouvert ]i - 1,i + 1[, i \in\Z..

Applications[modifier | modifier le code]

Les partitions de l'unité sont utilisées dans les questions d'intégration d'une fonction définie sur une variété[4]. On commence par démontrer la propriété voulue sur une fonction dont le support est contenu dans une seule carte locale de la variété, et ensuite grâce à une partition de l'unité qui recouvre la variété, on étend le résultat à la variété tout entière. On se reportera aussi avec intérêt à l'article de présentation du théorème de Stokes.

Les partitions de l'unité sont également utilisées en analyse fonctionnelle, par exemple dans l'étude des espaces de Sobolev définis sur un ouvert de \R^n avec une frontière, pour montrer la densité des fonctions C à support compact définies sur \R^n[5],[6].

Ils sont aussi parfois utilisés pour résoudre des problèmes d'équations aux dérivées partielles, par exemple pour construire dans un domaine un champ de vecteur solénoïdal dont la valeur à la frontière du domaine est fixée[7].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale [détail des éditions], Chapitres 5 à 10, Springer, 2007, IX.47, Th. 3.
  2. L. Schwartz, Théorie des Distributions, Hermann, 1978, chap. I, Th. II.
  3. (en) Andrzej Granas et James Dugundji, Fixed Point Theory, Springer,‎ 2003 (ISBN 978-0-387-00173-9, lire en ligne), p. 162-163.
  4. Y. Choquet-Bruhat, Géométrie différentielle et systèmes extérieurs, Dunod, 1968, II.B.8.
  5. (en) R. Adams et J. Fournier, Sobolev Spaces, Academic Press, 2003, 3.15.
  6. Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions], Masson, 1983, IX.2.
  7. (en) O. Ladyzhenskaya, The Mathematical Theory of viscous incompressible Flow, Gordon and Breach Science Publishers, 1987, chap. I, Sec.2, 2.1.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]