Faisceau injectif

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En mathématiques, un faisceau injectif est un objet injectif (en) d'une catégorie abélienne de faisceaux.

Typiquement, dans la catégorie des faisceaux de groupes abéliens sur un espace topologique fixé, un faisceau est dit injectif lorsque, pour tout sous-faisceau d'un faisceau , tout morphisme injectif de dans se prolonge en un morphisme de dans . Autrement dit, le foncteur (contravariant) exact à gauche est exact.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Lemme — Tout faisceau de groupes abéliens sur se plonge dans un faisceau injectif de groupes abéliens.

On en déduit immédiatement :

Théorème — Tout faisceau de groupes abéliens sur X admet une résolution injective, c'est-à-dire qu'il existe une suite exacte longue
où tous les sont des faisceaux injectifs de groupes abéliens sur X.

Preuve du lemme[modifier | modifier le code]

  • Pour tout point de , il existe un plongement de la fibre dans un groupe abélien injectif . Considérons le préfaisceau (qui est un faisceau) appelé faisceau gratte-ciel et défini par :
    Alternativement, si est fermé dans alors avec (plus généralement, ).

Pour tout faisceau de groupes abéliens, on a . Il s'ensuit que est un faisceau injectif.

  • Le produit de faisceaux injectifs est un faisceau injectif. L'application naturelle
    est un monomorphisme de dans un faisceau injectif.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Module injectif