Loi de Stefan-Boltzmann

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Graphe d'une fonction d'énergie totale émise par un corps noir M proportionnelle à sa température thermodynamique T\,. En bleu, l'énergie totale selon l'approximation de la loi de Wien,  M_{W} = M / \zeta(4) \approx 0.924 \, \sigma T^{4} \!\,

La loi de Stefan-Boltzmann ou de Stefan (du nom des physiciens Jožef Stefan et Ludwig Boltzmann) établit que l'exitance[1] énergétique du corps noir en watt par mètre carré (puissance totale rayonnée par unité de surface dans le demi-espace libre d'un corps noir) est liée à sa température T exprimée en Kelvin par la relation :

\ M = \sigma \cdot T^4,

\sigma est la constante de Stefan-Boltzmann (aussi appelée constante de Stefan).

Loi de Planck[modifier | modifier le code]

La loi de Stefan se déduit de la loi de Planck, qui permet de déterminer la luminance énergétique totale :

 L = \int_{0}^{\infty} {L_{\lambda} \cdot \mathrm d \lambda} .

La luminance dans une direction donnée étant par ailleurs pondérée par le cosinus de l'angle par rapport à la normale à la surface émettrice, l’exitance énergétique du corps noir est donnée par la loi de Lambert :

M = \pi \cdot L.

Démonstration[modifier | modifier le code]

On part de l'expression de la densité spectrale émise par un corps noir (Loi de Planck). On travaille en termes de pulsation. Si u est l'énergie interne par unité de volume (u = \frac{ \partial U}{ \partial V}), la densité spectrale est l'énergie des photons de pulsation comprise entre \omega et \omega + d\omega :

 u_{\omega} = \frac{\partial u}{\partial \omega} = \frac{\hbar}{c^3\pi^2}\frac{\omega^3}{\exp \left(\frac{\hbar\omega}{k_B T} \right)-1}


Note : si on veut travailler en longueur d'onde, on peut écrire que u_{\lambda} = \frac{\partial u}{\partial \lambda} = \frac{\partial u}{\partial \omega} \frac{d \omega}{d \lambda}.
En effet, \omega = \frac{2\pi c}{\lambda} donc d\omega = -2\pi c\frac{d\lambda}{\lambda^2} et u_{\lambda} = -\frac{8\pi hc}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k_B T}}-1}
Dans la suite de l'article, on ne travaillera qu'en pulsation, sachant que tous les calculs peuvent être effectués en utilisant \lambda = 2\pi\frac{c}{\omega}

Par ailleurs, dans les formules ci dessous, la notation ħ désigne la Constante de Planck réduite. (Le symbole ħ correspond au caractère Unicode U+210F)

On cherche maintenant à exprimer la puissance surfacique totale (pour toutes les pulsations) émise par un corps noir. On montre que si \varphi_e est la puissance émise par une unité de surface d'un corps noir, on a \frac{d\varphi_e}{d \omega} = \frac{c}{4}u_{\omega}. La puissance totale étant obtenue en sommant toutes ces puissances pour chaque pulsation, on cherche à calculer \int_{0}^{\infty} \frac{\hbar}{4\pi^2c^2}\frac{\omega^3}{e^{\frac{\hbar\omega}{k_B T}}-1}\, d\omega En effectuant le changement de variable x = \frac{\hbar\omega}{k_B T}, on obtient

P_{Surfacique} = \frac{(k_B T)^4}{4\pi^2c^2\hbar^3} \int_{0}^{\infty} \frac{x^3}{e^x-1} \, dx = \sigma T^4



avec \sigma = \frac{k_B^4}{4\pi^2c^2\hbar^3}\frac{\pi^4}{15} = \frac{\pi^2 k_B^4}{60c^2\hbar^3} = 5,67 \cdot 10^{-8} SI

Histoire[modifier | modifier le code]

La loi de Stefan-Boltzmann a été découverte expérimentalement par Joseph Stefan (1835-1893) en 1879 à partir de données expérimentales de John Tyndall (1820-1893). Les fondations théoriques ont été posées dans le cadre de la thermodynamique par un étudiant en doctorat de Stefan, Ludwig Boltzmann (1844-1906), en 1884.

Cette loi est la seule loi physique qui porte le nom d’un physicien slovène.

Stefan publia cette loi le 20 mars dans l’article Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur (allemand pour De la relation entre radiation thermique et température) dans les Bulletins from the sessions de l’Académie des sciences de Vienne.

Température du Soleil[modifier | modifier le code]

Grâce à cette loi, Stefan détermina également la température de la surface du Soleil. Il apprend, des données de Charles Soret (18541904), que le flux énergétique du Soleil est 29 fois plus grand que celui d'une lamelle de métal chauffée. Soret avait placé une lamelle circulaire devant son appareil de mesure, à une distance telle qu'elle apparaissait sous le même angle que le Soleil. Il avait estimé la température de la lamelle entre 1 900 °C et 2 000 °C.

Stefan suppose que le tiers du flux énergétique du Soleil est absorbé par l'atmosphère terrestre[2], ainsi il corrige ce rapport du facteur 3/2 : 29 × 3/2 = 43,5. Stefan retient la valeur moyenne des mesures de température de 1 950 °C, ce qui correspond à une température absolue de 2223 K.

L'application de sa loi conduit à une température du Soleil égale à 43,50,25 soit 2,568 fois la température de la lamelle ; ainsi Stefan obtient une valeur de 5 435,85 °C (la valeur est actuellement de 5 506,85 °C). Ce fut la première estimation sérieuse de la température du Soleil : les valeurs précédemment avancées variaient entre 1 800 °C à 13 000 000 °C.

Rayon des étoiles[modifier | modifier le code]

Avec la loi de Stefan-Boltzmann, les astronomes peuvent estimer le rayon des étoiles dont la distance (et donc la luminosité absolue) est connue : en effet, en approximant le spectre d'émission d'une étoile par celui d'un corps noir à une certaine température T, la luminosité L d'une étoile s'écrit:

L = 4 \pi \sigma R^2 T^4

où, L est la luminosité, \sigma est la constante de Stefan-Boltzmann (ou constante de Stefan), R le rayon de l'étoile, et T sa température. Le travail de l'astronome consistera donc à évaluer la distance et la température de l'étoile. Notons toutefois que le spectre réel d'une étoile diffère en général plus ou moins notablement du spectre d'émission d'un corps noir. La température est donc ici une température effective : celle qui permet, à l'aide d'un spectre de corps noir, d'approximer au mieux le spectre réel de l'étoile. Cette méthode fournit de bons ordres de grandeurs plutôt qu'une mesure précise des rayons stellaires.

Par ailleurs, cette loi est également respectée dans la thermodynamique des trous noirs pour la radiation de Hawking.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Appellation recommandée par la Commission internationale de l'éclairage (anciennement émittance énergétique).
  2. La mesure précise de l'absorption atmosphérique ne fut pas réalisée avant 1888 et 1904.