Inégalité de Minkowski

En mathématiques, l'inégalité de Minkowski, ainsi nommée en l'honneur de Hermann Minkowski, est l'inégalité triangulaire pour la norme des espaces L^p pour p ≥ 1, établissant ainsi que ce sont des espaces vectoriels normés.

Elle concerne également la norme des espaces de suites ℓ^p.

Énoncé

Soient $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ un espace mesuré, p ∈ [1,+∞[ et deux fonctions f, g ∈ L^p(X). Alors

$\|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p},$

c'est-à-dire

$\left(\int |f+g|^{p}\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}\leq \left(\int |f|^{p}\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int |g|^{p}\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}.$

Démonstration

L^p(X) étant un espace vectoriel, f + g ∈ L^p(X). Si ║f+g║_p = 0, l'inégalité est vérifiée.

Sinon, en appliquant successivement l'inégalité triangulaire dans ℝ et l'inégalité de Hölder (avec q = p/(p – 1)), il vient

${\begin{aligned}\|f+g\|_{p}^{p}&=\int |f+g|^{p}\mathrm {d} \mu \\&\leq \int (|f|+|g|)|f+g|^{p-1}\mathrm {d} \mu \\&=\int |f||f+g|^{p-1}\mathrm {d} \mu +\int |g||f+g|^{p-1}\mathrm {d} \mu \\&\leq \left(\left(\int |f|^{p}\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}+\left(\int |g|^{p}\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}\right)\left(\int |f+g|^{(p-1)\left({\frac {p}{p-1}}\right)}\mathrm {d} \mu \right)^{1-{\frac {1}{p}}}\\&=(\|f\|_{p}+\|g\|_{p}){\frac {\|f+g\|_{p}^{p}}{\|f+g\|_{p}}},\end{aligned}}$

d'où l'inégalité annoncée.

De plus, pour p > 1, il y a égalité si et seulement si f et g sont positivement liées presque partout (p.p.), c'est-à-dire si f = 0 p.p. ou s'il existe un réel λ ≥ 0 tel que g = λf p.p.

Cas particuliers

À l'instar des inégalités de Hölder, les inégalités de Minkowski se vérifient dans le cas particulier de vecteurs dans ℝⁿ (ou ℂⁿ) et même de séries (n = ∞) :

$\left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}.$

Ces inégalités se déduisent de la précédente en utilisant la mesure de comptage.

Inégalité intégrale de Minkowski

Soient $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ et $(Y,{\mathcal {B}},\nu )$ deux espaces mesurés σ-finis et $F$ une fonction mesurable positive sur leur produit. Alors, pour tout p ∈ [1,+∞[ :

$\left(\int _{X}\left(\int _{Y}F(x,y)\,\mathrm {d} \nu (y)\right)^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)\right)^{\frac {1}{p}}\leq \int _{Y}\left(\int _{X}F(x,y)^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)\right)^{\frac {1}{p}}\,\mathrm {d} \nu (y).$

Démonstration

Notons $f(x):=\int _{Y}F(x,y)\,\mathrm {d} \nu (y)$, $M:=\int _{Y}\|F(\cdot ,y)\|_{\mathrm {L} ^{p}(\mu )}\,\mathrm {d} \nu (y)$ et $q\in ]1,\infty ]$ tel que ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$.

Il s'agit de démontrer que $\|f\|_{\mathrm {L} ^{p}(\mu )}\leq M$, ou encore, d'après le cas extrémal de l'inégalité de Hölder, que $\forall g\in \mathrm {L} ^{q}(\mu )\quad \|fg\|_{\mathrm {L} ^{1}(\mu )}\leq M\|g\|_{\mathrm {L} ^{q}(\mu )}$. Il suffit pour cela (en supposant sans perte de généralité que $g\geq 0$) d'appliquer le théorème de Fubini-Tonelli et l'inégalité de Hölder.

Dans le cas où $Y$ est une paire et $\nu$ la mesure de comptage, l'hypothèse de σ-finitude pour $\mu$ est superflue et l'on retrouve l'énoncé précédent.

Dans le cas où p > 1, il y a égalité (si et) seulement s'il existe $\varphi ,\psi$ mesurables positives (sur $X$ et $Y$ respectivement) telles que F(x,y) = φ(x)ψ(y) p.p. pour la mesure produit.