Discussion:Inégalité de Minkowski

Refonte

Je suis assez ennuyé par cet article : il présente l'inégalité de Minkowski comme étant une généralisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les produits scalaires complexes -- or à ma connaissance elle n'a rien à voir avec cela. L'inégalité de Minkowski que je connais est l'inégalité triangulaire pour les normes p : $\left(\int _{I}|f+g|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\leq \left(\int _{I}|f|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int _{I}|g|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$

Snark (d) 26 octobre 2008 à 08:52

Je suis d'accord avec toi, et les versions anglaise et allemande aussi. Je vais m'occuper de cet article cette après-midi. Valvino ^(discuter) 26 octobre 2008 à 10:22

Pour la preuve on utilise l'inégalité de Hölder justement :-)

Ça fait très longtemps que je n'ai rien tapé, du coup je n'avais même pas pensé qu'il suffisait d'aller regarder dans les pages étrangères...

Snark (d) 26 octobre 2008 à 14:54

Égalité

La condition d'égalité me perturbe quelque peu. Il est évident qu'elle est fausse, en prenant $g=-f$. En relisant mon cours de sup, il semble plutôt que la condition (pour le cas discret par exemple) est que les suites soient proportionnelles, avec un coefficient de proportionnalité positif. C'est d'ailleurs évident en reprenant la preuve de l'inégalité de Minkowski d'après l'inégalité de Hölder. On passe à un moment par $|x_{k}+y_{k}|<=|x_{k}|+|y_{k}|$, et là, pour qu'il y ait égalité, il faudra bien que $x_{k}$ et $y_{k}$ soient de même signe. Étonnamment, comme pour l'inégalité de Hölder, le Arnaudiès et Fraysse se plante là-dessus. J'ai lu quelque part une remarque d'un prof sur les étudiants qui ne connaissent jamais correctement les cas d'égalité des inégalités classiques, mais il faut bien admettre qu'on ne les trouve pas souvent dans les livres... zrephel (d) 27 novembre 2012

rectifié. Anne, 11/2/17

Cas d'égalité : références pour une preuve

Je propose quelques sources pour une preuve du cas d'égalité.

• Une réponse "communauté" sur math.stackexchange : https://math.stackexchange.com/a/814294/294061
• Une extension de la référence précédente : https://math.stackexchange.com/a/4131933/294061
• Le frido : https://laurent.claessens-donadello.eu/pdf/lefrido.pdf p. 1803 le 9 mai 2021 (permalien interne : PropInegMinkKUpRHg)

Déclaration de conflit d'intérêts : je suis l'auteur des deux derniers.

Je ne sais pas si ces références sont admissibles sur Wikipédia, mais je n'ai pas trouvé mieux et si ça peut aider ... Laurent.Claessens (discuter) 9 mai 2021 à 06:28 (CEST)

Ou Briane et Pages : https://books.google.fr/books?id=8jZFDwAAQBAJ&pg=PA162 Anne, 17 h 23

Chez moi la preuve s'arrête à la moitié parce que la page 163 n'est pas dans celle qu'on a le droit de voir. À part ça, ça a l'air d'être une bonne référence. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Laurent.Claessens (discuter), le 9 mai 2021 à 20:47 (CEST)

https://books.google.fr/books?id=8jZFDwAAQBAJ&pg=PA163 Anne, 10 mai, 21 h 29

Cooncerne la démonstration de l'inégalité intégrale de Minkowski

J'ai un problème avec cette démonstration. (Ce n'est pas évident de trouver des démonstrations dans un article de math. de la wikipédia, mais si déjà il serait bon d'y trouver l'essentiel de la preuve ou alors il faudrait dire là où elle est incomplète quelque chose du genre "on peut démontrer que ..." J'ai cependant l'impression qu'ici la lacune n'est pas trop difficile à remplir.) On fait usage du cas extrémal de l'inégalité de Hölder (auquel un lien wiki envoie). Or celui-ci a une hypothèse comme quoi f est dans L^p (^ signifiant à l'exposant) et il n'est pas clair pourquoi celle-ci est remplie ici. Autrement dit, on arrive à prouver que la p-seminorme de f est <= M si elle est finie (et M aussi, mais ça on peut le supposer car sinon il n'y a rien à prouver). Quelqu'un voit-il comment compléter la démonstration?--UKe-CH (discuter) 1 décembre 2021 à 21:20 (CET)

Faute de réponse à ce qui précède, j'ai cherché dans les livres servant de sources - et choisi comme le meilleur le livre de Castillo et Rafeiro - comment la chose est présentée là. Et c'est à peu près la même chose. Bientôt j'ai eu une idée ... qui est un procédé assez naturel probablement utilisé souvent dans des raisonnements concernant l'intégrale de Lebesgue (généralisée en théorie de la mesure) avec des fonctions positives ... et vérification faite, ça marche et c'est très simple. Je dois cependant préciser que j'ai considéré - au lieu de ce qui est décrit comme "cas extrémal" - le résultat qui en est le "contenu essentiel" et dont on a vraiment besoin pour la preuve de l'inégalité intégrale de M., à savoir que si pour toute fct. g positive et dans Lq on a ||fg||L1 <= M ||g||Lq, alors ||f||Lp <= M (avec l'hypothèse f mesurable >= 0 uniquement). Le cas où on sait déjà que f est dans Lp est facile en prenant g=f^(p-1), même pas besoin de normer une fonction (diviser f par sa norme) ... c'est en gros ce qu'on fait dans la preuve du "cas extr." On passe au cas général en faisant intervenir une suite croissante de fonctions positives dont f est la borne sup. et qui appartiennent à tous les Lp (p>=1) - intuitivement: on coupe pour f_n ce qui dans f dépasse n puis on met à 0 les valeurs en dehors d'un ensemble A_n où A_n est mesurable de mesure finie et la suite des A_n est croissante et de réunion l'espace entier (la mesure doit donc être sigma-finie mais pour l'inégalité intégr. c'est bien une hyp.) ... on conclut des f_n à f par le th. de Beppo-Levi qui est vraiment basique dans la th. moderne de l'intégration.

Avant d'en avoir fini avec ça j'ai découvert qu'au lieu d'une réponse directe, Anne Bauval a (réponse indirecte) modifié la démonstration en faisant intervenir la théorie de la dualité de Lp / Lq. Je n'ai pas étudié vraiment cette dualité (bien connue) mais elle contient sûrement ce qu'il faut ... je me demande juste si le lecteur intéressé verra comment. Cette solution a l'avantage de réduire à peu de choses la modif. nécessaire pour corriger la lacune que j'ai trouvée. Mais le désavantage d'utiliser les grands moyens (on dit parfois: tirer sur des moineaux avec un canon) ... De toute façon je ne changerai plus la démonstration moi-même déjà vu mon manque d'expérience dans la rédaction de formules math. avec les moyens existant dans la WP--UKe-CH (discuter) 8 décembre 2021 à 23:50 (CET)

En principe, c'est « mal » (bien que très tentant, je l'ai souvent vécu) de mettre sur Wikipédia une démonstration qu'on a « inventée ». Ce qui est « bien », c'est de citer des sources bien choisies + (éventuellement) les résumer.

• La ref Castillo & Rafeiro est mauvaise car justement, ils énoncent le théorème avec l'hypothèse superflue « f est dans L^p ».
• Stein n'est pas bon non plus car ne donne que l'énoncé, sans cette hypothèse superflue mais sans démonstration.
• La bonne ref est Hardy, Littlewood & Pólya. C'est grâce à eux que j'ai comblé la lacune que tu as détectée : pour démontrer leur théorème 202, ils invoquent en cascade (pour p > 1) leurs théorèmes 191 et 190, ce que j'ai résumé par « appliquer l'isomorphisme (L^q)' ≃ L^p si p > 1 ». Pas la peine détailler en citant leur(s) énoncé(s) : les liens interne (vers Espace Lp#Dualité) et externe (vers Hardy, Littlewood & Pólya) devraient suffire au lecteur, a priori un peu averti s'il s'intéresse à ce genre d'article. Ils indiquent aussi une méthode moins coûteuse qui correspond à ton idée. Mais j'avoue qu'exceptionnellement je préfère la méthode coûteuse, pour 2 raisons : elle est instructive et rapide à résumer.

Anne, 9/12/2021, 23 h 03