Mesure produit

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En mathématiques et plus précisément en théorie de la mesure, étant donnés deux espaces mesurés et on définit une mesure produit μ1×μ2 sur l'espace mesurable .

La tribu produit est la tribu sur le produit cartésien engendrée par les parties de la forme , où appartient à et à  :

Une mesure produit μ1×μ2 est une mesure sur telle que :

D'après le théorème d'extension de Carathéodory, une telle mesure μ1×μ2 existe, et si μ1 et μ2 sont σ-finies alors elle est unique.

En fait, lorsque μ1 et μ2 sont σ-finies, pour chaque ensemble mesurable E,

avec Ex = {yΩ2|(x,y)∊E} et Ey = {xΩ1|(x,y)∊E}, qui sont tous deux des ensembles mesurables.

La mesure de Borel-Lebesgue sur l'espace euclidienn peut être obtenue comme le produit de n copies de celle sur la droite réelle ℝ.

Même lorsque μ1 et μ2 sont complètes, μ1×μ2 ne l'est pas nécessairement. Par exemple, pour obtenir la mesure de Lebesgue sur ℝ2, il faut compléter le produit des deux copies de la mesure de Lebesgue sur ℝ.

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Product measure » (voir la liste des auteurs).
  • (en) Michael E. Taylor, Measure theory and integration, American Mathematical Society
  • (en) Michel Loève, Probability Theory vol. I, Springer, , 4e éd. (ISBN 0387902104), chap. 8.2 (« Product measures and iterated integrals »), p. 135-137
  • (en) Paul Halmos, Measure theory, Springer, (ISBN 0387900888), chap. 35 (« Product measures »), p. 143-145

Articles connexes[modifier | modifier le code]