Fonction de Liouville

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La fonction de Liouville, notée λ et nommée ainsi en l'honneur du mathématicien français Joseph Liouville, est une fonction arithmétique importante de la théorie des nombres, définie par[1] :

où Ω (n) est le nombre de facteurs premiers comptés avec multiplicité de l'entier n > 0.

par exemple : 12 = 2² × 3 et Ω (12) = 3).

Propriétés[modifier | modifier le code]

est une fonction thêta de Jacobi.

Conjectures[modifier | modifier le code]

Conjecture de Pólya[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Conjecture de Pólya.

On note . Pólya avait conjecturé en 1919[2] que ,ce qui fut réfuté en 1958 par Colin Brian Haselgrove[3]. Minoru Tanaka trouva en 1980 le plus petit contre-exemple n[4],[2] : L (906 150 257) = 1. On a même L(n) > 0,061867 n pour une infinité d'entiers n[4]. On ignore si le nombre de changements de signes de L est fini[2], et pour cause : l'hypothèse de Riemann et la simplicité de tous les zéros de la fonction zêta de Riemann en résulteraient[4].

Autre conjecture (parfois attribuée à tort à Pál Turán) : si l'on définit , alors il semblait plausible que M(n) ≥ 0 pour n suffisamment grand, ce qui a été aussi réfuté en 1958 par Haselgrove[3],[4]. Cette propriété, si elle avait été vraie, aurait entraîné, comme l'avait montré Pál Turán, la véracité de l'hypothèse de Riemann.

Conjecture de Chowla[modifier | modifier le code]

Une conjecture de Sarvadaman Chowla énonce que, pour nombres entiers non négatifs tous distincts et nombres entiers non négatifs avec pour on a :

quand ,

désigne le symbole de Landau.

La conjecture est vraie pour puisque équivalente au théorème des nombres premiers ; elle est ouverte pour .

En 2015, Kaisa Matomäki, Maksym Radziwill (en) et Terence Tao ont réalisé des progrès, en ce qui concerne une version moyenne de la conjecture[5]. En 2016 Terence Tao a démontré une version logarithmique de la conjecture dans le cas [6]. Une conjecture similaire se formule de la même façon, en remplaçant la fonction de Liouville par la fonction de Möbius.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Liouville function » (voir la liste des auteurs).

  1. Suite A008836 de l'OEIS.
  2. a, b et c (en) Eric W. Weisstein, « Pólya Conjecture », MathWorld.
  3. a et b (en) C. B. Haselgrove, « A disproof of a conjecture of Pólya », Mathematika, vol. 5,‎ , p. 141-145 (DOI 10.1112/S0025579300001480).
  4. a, b, c et d (en) Peter Borwein, Ron Ferguson et Michael J. Mossinghoff, « Sign Changes in Sums of the Liouville Function », Math. Comp., vol. 77, no 263,‎ , p. 1681-1694 (lire en ligne).
  5. K. Matomäki, M. Radziwill, Terence Tao: An averaged form of Chowla´s conjecture, Algebra & Number Theory, vol 9, 2015, pp 2167-2196, Arxiv
  6. T. Tao: The logarithmically averaged Chowla and Elliott Conjectures for two-point correlations, Forum of Mathematics, Pi (2016), Vol. 4, 36 pages doi:10.1017/fmp.2016.6.