Fonction de Liouville

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La fonction de Liouville, notée λ et nommée ainsi en l'honneur du mathématicien français Joseph Liouville, est une fonction arithmétique importante de la théorie des nombres, définie par[1] :

où Ω(n) est le nombre avec répétition (i.e. en comptant de multiples fois les facteurs multiples) des facteurs premiers de l'entier n > 0.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • La fonction λ est complètement multiplicative car la fonction Ω est complètement additive. Par conséquent λ(1) = 1.
  • Elle satisfait l'identité suivante, où ✻ désigne la convolution de Dirichlet, 1 la fonction constante 1 et χC la fonction indicatrice de l'ensemble C des carrés parfaits :
    En effet, ces deux fonctions de n sont multiplicatives et coïncident clairement sur les puissances de nombres premiers.
  • La fonction de Liouville est l'inverse, pour ✻, de la valeur absolue de la fonction de Möbius μ.
    Cette propriété se déduit de la précédente en remarquant que χC ✻ |μ| = 1.
  • La série de Dirichlet de λ est reliée à la fonction zêta de Riemann par la formule
  • La série de Lambert de λ est est une fonction thêta de Jacobi.

Conjectures[modifier | modifier le code]

Pólya avait conjecturé en 1919[2] que

ce qui fut réfuté en 1958 par Colin Brian Haselgrove[3], et Minoru Tanaka trouva en 1980 le plus petit contre-exemple n : L(906 150 257)[2] = 1[4]. On a même L(n) > 0,061867n pour une infinité de n[4]. On ignore si le nombre de changements de signes de L est fini[2], et pour cause : l'hypothèse de Riemann et la simplicité de tous les zéros de la fonction zêta de Riemann en résulteraient[4].

Autre conjecture (parfois attribuée à tort à Pál Turán) : si l'on définit , alors il semblait plausible que M(n) ≥ 0 pour n suffisamment grand, ce qui a été aussi réfuté en 1958 par Haselgrove[3],[4]. Cette propriété, si elle avait été vraie, aurait confirmé, comme l'avait démontré Pál Turán, la véracité de l'hypothèse de Riemann.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Liouville function » (voir la liste des auteurs).

  1. Suite A008836 de l'OEIS.
  2. a, b et c (en) Eric W. Weisstein, « Pólya Conjecture », MathWorld.
  3. a et b (en) C. B. Haselgrove, « A disproof of a conjecture of Pólya », Mathematika, vol. 5,‎ , p. 141-145 (DOI 10.1112/S0025579300001480).
  4. a, b, c et d (en) Peter Borwein, Ron Ferguson et Michael J. Mossinghoff, « Sign Changes in Sums of the Liouville Function », Math. Comp., vol. 77, no 263,‎ , p. 1681-1694 (lire en ligne).