Courant de probabilité

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En mécanique quantique, le courant de probabilité est un concept décrivant le flux de densité de probabilité. Tout comme la loi de conservation de la charge en électrodynamique, il existe une loi de conservation de la densité de probabilité en mécanique quantique. Intuitivement, cette dernière indique que lorsque la densité de probabilité dans volume fixé varie dans le temps, alors il doit exister un flux de densité de probabilité à travers les parois de ce volume. La notion de courant de probabilité permet de décrire ce flux de probabilité.

Définition[modifier | modifier le code]

Ainsi qu'on l'a déjà mentionné, la densité de probabilité satisfait une condition de conservation locale. En notant le courant de probabilité, cette condition de conservation locale (aussi appelée équation de continuité) se note :

avec la fonction d'onde représentant l'amplitude de probabilité et, par définition, , la densité de probabilité. Cette condition est satisfaite si l'on définit comme suit :

Du théorème de la divergence, on a (en partant de l'équation de continuité) que :

avec un volume (fixé), le bord de ce volume et le vecteur normal à la surface.

Explicitement cette dernière relation signifie que le courant de probabilité passant à travers une surface (fermée) est égal à la diminution en probabilité de trouver la particule dans le volume borné par cette surface.

Démonstration de l'équation de continuité[modifier | modifier le code]

On suppose que est la fonction d'onde correspondant à l'amplitude de probabilité d'une particule (dans l'espace des positions). La probabilité de trouver la particule dans un certain volume est donnée par

en prenant la dérivée temporelle de cette probabilité et en utilisant la règle de Leibniz pour la dérivée d'une intégrales paramétriques, on a :

L'équation de Schrödinger donne :

avec m la masse de la particule, le laplacien et V un potentiel (une fonction réelle).

En prenant le complexe conjugué, on a aussi :

et en utilisant ces deux dernières équations, on a

Cependant, on peut réécrire

en effet la règle du produit donne :

et le deuxième et le dernier terme se simplifient. Finalement, en définissant par

on a :

et donc :

État stationnaire[modifier | modifier le code]

Supposons que le potentiel du système soit indépendant du temps, il existe alors un ensemble complet d'états (vecteurs propres de l’hamiltonien) ayant la forme suivante :

où la fonction satisfait l'équation de Schrödinger indépendante du temps :

Pour n'importe quel état stationnaire, la densité de probabilité est stationnaire, en effet,

et comme est indépendante du temps, . Par conséquent, . De manière plus intuitive, on a :

ce qui signifie que le flux total de densité de probabilité à travers n'importe quelle surface fermée est nul. Par ailleurs, l'expression du courant de probabilité pour l'état n se simplifie :

Exemples[modifier | modifier le code]

Particule libre[modifier | modifier le code]

L'amplitude de probabilité d'une particule libre est une onde plane tridimensionnelle représentée par :

avec le vecteur d'onde, le vecteur position et la fréquence angulaire.

le gradient de la fonction est donné par :

on obtient le gradient de la fonction complexe conjuguée de manière similaire et finalement :

avec la vitesse de la particule. On a utilisé la relation avec l'impulsion de la particule.

Remarquons que le courant de probabilité n'est pas nul même si la densité de probabilité est indépendante du temps.

Particule dans une boîte[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Particule dans une boîte.

Les états stationnaires d'une particule dans une boîte de dimension ont une fonction d'amplitude définie par :

avec

et on a :

puisque .

Définition dans un champ extérieur[modifier | modifier le code]

La définition doit être modifiée pour un système dans un champ électromagnétique extérieur. Par exemple, pour une particule de charge q, l'équation de Schrödinger indépendante du temps qui satisfait une invariance locale de jauge est donnée dans l'espace des positions avec un hamiltonien de couplage minimal par :

avec l'opérateur position, est un potentiel vecteur et est un paramètre caractérisant la jauge. Par exemple, correspond à la jauge de vitesse tandis que correspond à la jauge de longueur.

Si on remplace par , il est aisé de dériver l'équation de continuité avec un courant de probabilité défini par :

Références[modifier | modifier le code]

  • David J. GRIFFITHS, Introduction to Quantum Mechanics, 2de edition, Pearson Education, 2005, (ISBN 0-13-191175-9)