Transvection

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Transvection 5/4
Une transvection horizontale du plan avec un coefficient m = 1.25, illustrée par son effet (en vert) sur une grille rectangulaire et quelques formes (en bleu). L'origine est le point noir.

Une transvection est une transformation géométrique. Sur une géométrie plane c'est une application linéaire qui déplace chaque point dans une direction donnée, la distance de ce déplacement étant proportionnelle à la distance signée à une droite parallèle à cette direction[1]. Des transformations analogues existent aussi dans des espaces non euclidiens

Cet article est à lire en parallèle avec celui sur les dilatations.

Transvection vectorielle[modifier | modifier le code]

Soient f un endomorphisme d'un espace vectoriel E, H = Ker(f–id) l'ensemble des vecteurs invariants, et D = Im(f–id) (d'après le théorème du rang, dim(H) + dim(D) = dim(E)).

  • On dit que f est une transvection si f est l'identité, ou si H est un hyperplan (base de la transvection) (ce qui revient à dire que D, direction de la transvection, est une droite) et D est inclus dans H (c'est-à-dire que pour tout x de E, f(x) – x appartient à H).
  • Condition équivalente 1 : f est linéaire, Ker(f – id) est l'espace tout entier ou un hyperplan, et (f – id)2 = 0.
  • Condition équivalente 2 : il existe une forme linéaire h sur E et un vecteur u de Ker(h) tels que pour tout x de E : f(x) = x + h(x)u.

Les transvections sont bijectives (f–1(x) = x–h(x)u) et, en dimension finie, sont de déterminant 1 ; elles engendrent le groupe spécial linéaire SL(E) de E. L'ensemble des transvections de base H en forme un sous-groupe, isomorphe au groupe additif Hu de H, faire correspondre la transvection xx + h(x)u).

Matrice de transvection[modifier | modifier le code]

Dans une base de E contenant une base de H dont l'un des vecteurs est un vecteur directeur de D, la transvection a pour matrice une matrice du type

avec i ≠ j, la matrice Ei,j étant constituée de zéros partout sauf un 1 en position (i, j).

Ces matrices In + λEi,j sont appelées matrices de transvection ; elles engendrent le groupe spécial linéaire SLn(K).

La forme la plus réduite, qui est sa forme de Jordan, de la matrice d'une transvection différente de l'identité est

Transvection affine[modifier | modifier le code]

Transvection.gif

Une transvection d'un espace affine E est soit l'identité, soit une application affine de E dans E dont l'ensemble des points invariants est un hyperplan H de E (base de la transvection) et telle que pour tout point M le vecteur reste parallèle à H. Les vecteurs forment alors une droite vectorielle (direction de la transvection).

Une transvection affine a pour partie linéaire une transvection vectorielle. Réciproquement, les applications affines ayant pour partie linéaire une transvection vectorielle sont les transvections glissées, composée d'une transvection et d'une translation de vecteur parallèle à la base.

Étant donné deux points A et A' tels que la droite (AA' ) est parallèle à un hyperplan H, mais non incluse dans cet hyperplan, il existe une unique transvection de base H envoyant A sur A'  ; on obtient facilement l'image M' d'un point M par la construction de la figure ci-contre.

Transvection projective[modifier | modifier le code]

Transvection avion.gif

Si l'on plonge l'espace affine E dans son complété projectif, en lui adjoignant un hyperplan à l'infini H' , on sait que l'on peut munir le complémentaire E' de l'hyperplan H d'une structure d'espace affine (les droites qui sont sécantes en un point de H dans E deviennent parallèles dans E' et celles qui sont parallèles dans E deviennent sécantes en un point de H' ).

À toute transvection d'hyperplan H de E est alors associée une application affine de E' qui n'est autre qu'une translation.

Les transvections sont donc en fait des « translations en perspective ».[réf. nécessaire] Si l'on regarde par avion une translation de vecteur parallèle à la ligne d'horizon, on voit une transvection (cf figure ci-contre).

Si maintenant on envoie un autre hyperplan que H et H' à l'infini, la transvection devient une homologie spéciale.

En résumé, il y a, en géométrie projective, identité entre les translations, les transvections, et les homologies spéciales.

Transvection euclidienne[modifier | modifier le code]

Transvection euclid.gif

Soit f une transvection d'un espace euclidien, un vecteur normal et normé de sa base et D sa direction de vecteur directeur normé .

Avec les notations ci-contre, on a

Le nombre λ est alors le coefficient de la transvection, et son angle θ est défini par tan θ = λ.

Réalisation d'une transvection par perspective parallèle[modifier | modifier le code]

Transvection perspective.gif

Plongeons l'espace euclidien En de dimension n comme hyperplan d'un espace En+1 de dimension n+1 et faisons tourner En autour de son hyperplan H, de façon à en obtenir une copie .

Tout point M de En a une copie dans , donc aussi l'image M' de M par une transvection de base H.

On montre[2] que la droite garde une direction fixe D, ce qui montre que s'obtient par projection de M dans En+1 (projection de base et de direction D).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Éric Weisstein, « Shear », MathWorld
  2. Voir cette page sur le site de l'université de Modène une réalisation concrète de ce procédé.

Source pour la partie projective : Alain Bigard, Géométrie, Cours et exercices corrigés pour le Capes et l'agrégation, Masson, 1998