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Le calcul d'une primitive fonction est l'une des deux opérations de base de l'analyse et comme cette opération est délicate à effectuer, à l'inverse de la dérivation , des tables de primitives connues sont souvent utiles.
Nous savons qu'une fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives et que ces primitives diffèrent d'une constante ; nous désignons par C constante arbitraire qui peut seulement être déterminée si nous connaissons la valeur de la primitive en un point.
∫
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int f(x)\,\mathrm {d} x}
intégrale indéfinie de f f
Règles générales d'intégration Linéarité :
∫
(
a
f
(
x
)
+
b
g
(
x
)
)
d
x
=
a
∫
f
(
x
)
d
x
+
b
∫
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \left({\color {Blue}a}\,{\color {Blue}f(x)}+{\color {blue}b}\,{\color {blue}g(x)}\right)\mathrm {d} x={\color {Blue}a}\int {\color {Blue}f(x)}\,\mathrm {d} x+{\color {Blue}b}\int {\color {Blue}g(x)}\,\mathrm {d} x}
relation de Chasles :
∫
a
c
f
(
x
)
d
x
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
+
∫
b
c
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{\color {blue}b}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{\color {blue}b}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
−
∫
b
a
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{\color {blue}a}^{\color {blue}b}f(x)\,\mathrm {d} x={\color {blue}-}\int _{\color {blue}b}^{\color {blue}a}f(x)\,\mathrm {d} x}
intégration par parties :
∫
f
(
x
)
g
′
(
x
)
d
x
=
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
−
∫
f
′
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int {\color {Blue}f(x)}\,{\color {blue}g'(x)}\,\mathrm {d} x=[{\color {Blue}f(x)}\,{\color {Blue}g(x)}]-\int {\color {Blue}f'(x)}\,{\color {blue}g(x)}\,\mathrm {d} x}
mnémotechnique :
∫
u
v
′
=
[
u
v
]
−
∫
u
′
v
{\displaystyle \int {\color {Blue}u}{\color {blue}v'}=[{\color {Blue}u}{\color {Blue}v}]\ -\int {\color {Blue}u'}{\color {blue}v}}
avec
u
=
f
(
x
)
,
u
′
=
f
′
(
x
)
,
v
=
g
(
x
)
,
v
′
=
g
′
(
x
)
{\displaystyle u=f(x),~u'=f'(x),~v=g(x),~v'=g'(x)}
dx implicite.
intégration par changement de variable (si f et φ' sont continues) :
∫
a
b
f
(
φ
(
t
)
)
φ
′
(
t
)
d
t
=
∫
φ
(
a
)
φ
(
b
)
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f({\color {Blue}\varphi (t)})\,{\color {Blue}\varphi '(t)}\,\mathrm {d} {\color {Blue}t}=\int _{\color {blue}\varphi (a)}^{\color {blue}\varphi (b)}f({\color {Blue}x})\,\mathrm {d} {\color {Blue}x}}
Primitives de fonctions simples
∫
d
x
=
x
+
C
∀
x
∈
R
{\displaystyle \int \,\mathrm {d} x=x+C\qquad \forall x\in \mathbb {R} }
∫
x
n
d
x
=
x
n
+
1
n
+
1
+
C
si
n
≠
−
1
{\displaystyle \int x^{n}\,\mathrm {d} x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\text{ si }}n\neq -1}
∫
1
x
d
x
=
ln
|
x
|
+
C
si
x
≠
0
{\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x=\ln \left|x\right|+C\qquad {\text{ si }}x\neq 0}
∫
1
x
−
a
d
x
=
ln
|
x
−
a
|
+
C
si
x
≠
a
{\displaystyle \int {\frac {1}{x-a}}\,\mathrm {d} x=\ln |x-a|+C\qquad {\text{ si }}x\neq a}
∫
1
(
x
−
a
)
n
d
x
=
−
1
(
n
−
1
)
(
x
−
a
)
n
−
1
+
C
si
n
≠
1
et
x
≠
a
{\displaystyle \int {\frac {1}{(x-a)^{n}}}\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{(n-1)(x-a)^{n-1}}}+C\qquad {\text{ si }}n\neq 1{\text{ et }}x\neq a}
∫
1
1
+
x
2
d
x
=
arctan
x
+
C
∀
x
∈
R
{\displaystyle \int {\frac {1}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\operatorname {arctan} x+C\qquad \forall x\in \mathbb {R} }
∫
1
a
2
+
x
2
d
x
=
1
a
arctan
x
a
+
C
si
a
≠
0
{\displaystyle \int {\frac {1}{a^{2}+x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\operatorname {arctan} {\frac {x}{a}}+C\qquad {\text{ si }}a\neq 0}
∫
1
1
−
x
2
d
x
=
1
2
ln
|
x
+
1
x
−
1
|
+
C
=
{
artanh
x
+
C
sur
]
−
1
,
1
[
arcoth
x
+
C
sur
]
−
∞
,
−
1
[
et sur
]
1
,
+
∞
[
.
{\displaystyle \int {\frac {1}{1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\ln {\left|{\frac {x+1}{x-1}}\right|}+C={\begin{cases}\operatorname {artanh} x+C&{\text{ sur }}]-1,1[\\\operatorname {arcoth} x+C&{\text{ sur }}]-\infty ,-1[{\text{ et sur }}]1,+\infty [.\end{cases}}}
∀
x
∈
R
+
∗
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}}
∫
ln
x
d
x
=
x
ln
x
−
x
+
C
{\displaystyle \int \ln x\,\mathrm {d} x=x\ln x-x+C}
Plus généralement, une primitive n -ième de
ln
{\displaystyle \ln }
x
n
n
!
(
ln
x
−
∑
k
=
1
n
1
k
)
{\displaystyle {\frac {x^{n}}{n!}}\left(\ln x-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)}
∀
x
∈
R
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} }
∫
e
a
x
d
x
=
1
a
e
a
x
+
C
{\displaystyle \int e^{ax}\,dx={\frac {1}{a}}e^{ax}+C}
∫
f
′
(
x
)
e
f
(
x
)
d
x
=
e
f
(
x
)
+
C
{\displaystyle \int f'(x)e^{f(x)}\,dx=e^{f(x)}+C}
∫
a
x
d
x
=
a
x
ln
a
+
C
si
a
>
0
{\displaystyle \int a^{x}\,\mathrm {d} x={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C\qquad {\text{ si }}a>0}
a ≠ 1ln(1) = 0 .
∀
x
∈
R
∖
{
−
1
,
1
}
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \setminus \{-1,1\}}
∫
1
1
−
x
2
d
x
=
arcsin
x
+
C
{\displaystyle \int {1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\operatorname {arcsin} x+C}
∫
−
1
1
−
x
2
d
x
=
arccos
x
+
C
{\displaystyle \int {-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\operatorname {arccos} x+C}
∫
x
x
2
−
1
d
x
=
x
2
−
1
+
C
{\displaystyle \int {x \over {\sqrt {x^{2}-1}}}\,\mathrm {d} x={\sqrt {x^{2}-1}}+C}
Primitives de fonctions trigonométriques Primitives de fonctions hyperboliques Primitives de fonctions circulaires réciproques Primitives de fonctions hyperboliques réciproques Voir aussi Bibliographie Articles connexes Lien externe Calculateur automatique de primitive par Mathematica
![{\displaystyle \int {\color {Blue}f(x)}\,{\color {blue}g'(x)}\,\mathrm {d} x=[{\color {Blue}f(x)}\,{\color {Blue}g(x)}]-\int {\color {Blue}f'(x)}\,{\color {blue}g(x)}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bc9519bfb0e03e5ae2d4961698706900bf585b9)
![{\displaystyle \int {\color {Blue}u}{\color {blue}v'}=[{\color {Blue}u}{\color {Blue}v}]\ -\int {\color {Blue}u'}{\color {blue}v}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00345b12d5657340858992488c3ecde9921582cf)
![{\displaystyle \int {\frac {1}{1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\ln {\left|{\frac {x+1}{x-1}}\right|}+C={\begin{cases}\operatorname {artanh} x+C&{\text{ sur }}]-1,1[\\\operatorname {arcoth} x+C&{\text{ sur }}]-\infty ,-1[{\text{ et sur }}]1,+\infty [.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57a051e315447e6d6e38ad1b3cd5e78237143c3b)
