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Espace de Hardy

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Les espaces de Hardy, dans le domaine mathématique de l'analyse fonctionnelle, sont des espaces de fonctions analytiques sur le disque unité 𝔻 du plan complexe.

Le cas hilbertien : l'espace H2(𝔻)

Définition

Soit f une fonction holomorphe sur 𝔻, on sait que f admet un développement en série de Taylor en 0 sur le disque unité :

On dit alors que f est dans l'espace de Hardy H2(𝔻) si la suite appartient à 2. Autrement dit, on a :

On définit alors la norme de f par :

Exemple

La fonction appartient à H2(𝔻), par convergence de la série (série de Riemann convergente).

Une autre expression de la norme

Pour f holomorphe sur 𝔻 et pour 0 ≤ r <1, on définit :

  • la fonction rM2(f, r) est croissante sur [0, 1[.
  • fH2(𝔻) si et seulement si et l'on a :

Quelques propriétés de l'espace H2(𝔻)

  • Pour tout fH2(𝔻) et pour tout z dans 𝔻, on a :

Cela signifie que l'application linéaire d'évaluation ff(z), de H2(𝔻) dans ℂ, est continue pour tout z dans 𝔻 et sa norme est plus petite que :

En fait, on peut montrer que la norme est exactement égale à cette constante.

Les deux prochaines propriétés sont alors des conséquences directes de cette dernière.

  • Soit (fn) une suite d'éléments de H2(𝔻) qui converge en norme vers f alors (fn) converge uniformément sur tout compact de 𝔻 vers f.
  • Soit (fn) une suite d'éléments de H2(𝔻) incluse dans la boule unité. Alors on peut en extraire une sous-suite qui converge uniformément sur tout compact de 𝔻.

Le cas général

Définition

Pour 0 < p < + ∞, on définit l'espace de Hardy Hp(𝔻) comme étant l'espace des fonctions analytiques f sur le disque unité telles que :

On définit alors :

Quelques propriétés

  • Pour p ≥ 1, Hp(𝔻) est un espace de Banach.
  • Soit fHp(𝔻) pour p ≥ 1. Alors pour presque tout t (au sens de la mesure de Lebesgue) :
    existe et l'application ff* est une isométrie de Hp(𝔻) sur le sous-espace de où :
  • On a une autre caractérisation de la norme grâce aux propriétés des fonctions sous-harmoniques : Pour toute fHp(𝔻), on a :

Factorisation de Beurling

Bibliographie

Article connexe

Noyau de Poisson