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Par la suite on supposera la vitesse assez faible pour négliger l'énergie cinétique. On obtient ainsi l'expression de la pression
Milieu à surface libre
Examinons un problème bidimensionnel. On désigne par s(x) l'altitude de la surface par rapport à sa valeur au repos z = 0.
Outre l'équation de continuité on peut écrire une seconde équation à la surface en dérivant la pression. Compte tenu d'une approximation de faible amplitude de l'onde, cette relation est appliquée en z = 0.
En intégrant une première fois ψ on obtient les composantes verticale et horizontale de la vitesse. Une nouvelle intégration donne alors les composantes de la particule fluide qui vérifient
a et b < 0 sont des constantes d'intégration arbitraires.
Cette équation décrit un cercle centré en (a,b) dont le rayon Aekb diminue exponentiellement avec la profondeur b (voir figure).
Démonstration
À partir du potentiel on exprime les composantes de la vitesse
En intégrant à nouveau en tenant compte de la relation de dispersion on obtient les trajectoires
En réarrangeant les termes et en sommant les carrés des deux expressions il vient
Fond plat
Pour un fond situé à l'altitude z = -h la solution de l'équation de Laplace est[3]
et la relation de dispersion
Dans la limite d'une eau peu profonde devant la longueur d'onde on a
d'où
qui décrit une propagation avec la vitesse : le milieu est non dispersif.
Dans ce cas les trajectoires des particules fluides sont des ellipses (voir figure) dont le rapport des deux demi-axes est : avec la profondeur le mouvement devient rapidement un mouvement de va-et-vient à altitude quasi constante.
Démonstration
À partir du potentiel on exprime les composantes de la vitesse
En intégrant à nouveau en tenant compte de la relation de dispersion on obtient les trajectoires
En réarrangeant les termes et en sommant les carrés des deux expressions il vient
On notera que ce système correspond à un milieu dans lequel l'équilibre hydrostatique est vérifié, au moins au premier ordre. Il est décrit par les équations de Barré de Saint-Venant.
Dérive de Stokes
On a linéarisé la condition limite en surface en la ramenant à z = 0. En réalité, il existe une vitesse de dérive de Stokes qui est une faible vitesse moyenne des particules fluides parallèlement à la surface (voir figures). Sa valeur peut être estimé à partir de considérations très générales[4]
où T est la période de rotation de la particule fluide.
Dans le cas du milieu infiniment profond
La dérive varie comme le carré de l'amplitude et l'inverse de la longueur d'onde. Elle diminue rapidement avec la profondeur.
Démonstration
Une onde plane se déplaçant avec la vitesse c est décrite par l'équation
Soit x(t) la position d'une particule de fluide. Elle obéit à l'équation lagrangienne
d'où
Au final
En intégrant sur une durée égale à la période T on obtient le déplacement
Propagation
Dans le cas général l'onde est décrite par
où F représente la condition initiale. L'intégration est complexe car ω dépend de k et la fonction à intégrer est infiniment oscillante[5].
Démonstration
La solution du système linéaire en ψ s'obtient comme une intégrale de Fourier[6]
Les fonctions F± étant fixées par les conditions initiales sur s et sa dérivée temporelle (rappelons que ω dépend de k)
Si l'on prend s(x,0) = s0(x) et une dérivée temporelle nulle alors et
et
On peut cependant trouver des solutions à partir d'une approximation de ω obtenue en développant la tangente hyperbolique. Pour k petit
L'onde est formée par un front se propageant avec la vitesse de groupe, suivi d'ondes dont l'amplitude décroît comme
Références
↑J. Boussinesq, « Théorie des ondes et des remous qui se propagent le long d'un canal rectangulaire horizontal, en communiquant au liquide contenu dans ce canal des vitesses sensiblement pareilles de la surface au fond », Journal de mathématiques pures et appliquées, vol. 17, , p. 55-108 (lire en ligne)