Fonction d'Airy

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La fonction d'Airy Ai est une des fonctions spéciales en mathématiques, c'est-à-dire une des fonctions remarquables apparaissant fréquemment dans les calculs. Elle porte le nom de l'astronome britannique George Biddell Airy, qui l'introduisit pour ses calculs d'optique, notamment lors de l'étude de l'arc-en-ciel. La fonction d'Airy Ai et la fonction Bi, qu'on appelle fonction d'Airy de seconde espèce, sont des solutions de l'équation différentielle linéaire d'ordre deux

connue sous le nom d'équation d'Airy.

Définition[modifier | modifier le code]

La fonction Ai est en rouge et Bi en vert.

Fonction Ai[modifier | modifier le code]

La fonction d'Airy est définie en tout x réel par la formule

qui forme une intégrale semi-convergente (cela peut être prouvé par une intégration par parties). Un théorème de dérivation des intégrales à paramètres permet de montrer que Ai est solution de l'équation d'Airy

avec pour conditions initiales

La fonction possède notamment un point d'inflexion en x=0. Dans le domaine x>0, Ai(x) est positive, concave, et décroît exponentiellement vers 0. Dans le domaine x<0, Ai(x) oscille autour de la valeur 0 avec une fréquence de plus en plus forte et une amplitude de plus en plus faible à mesure que -x grandit. C'est ce que confirment les équivalents aux bornes (lorsque x tend vers +∞)

dans lesquels on voit apparaître la fonction gamma.

Fonction d'Airy de seconde espèce Bi[modifier | modifier le code]

Les solutions de l'équation d'Airy (autres que la solution nulle) ont également un comportement oscillant dans le domaine x<0. La fonction d'Airy de seconde espèce, Bi, est la solution de l'équation d'Airy dont les oscillations ont même amplitude que celles de Ai au voisinage de -∞ et qui présente un déphasage de π/2. Son expression est donnée par :

Elle admet pour équivalents aux bornes

Les fonctions Ai et Bi fonctions constituent un système fondamental de solutions de l'équation d'Airy, la seconde correspondant aux conditions initiales

Relation à d'autres fonctions spéciales[modifier | modifier le code]

Pour un argument positif, les fonctions d'Airy sont reliées aux fonctions de Bessel modifiées:

Avec, I±1/3 et K1/3 les solutions de l'équation:

La première dérivée de la fonction d'Airy est:

Pour un argument négatif, les fonctions d'Airy sont reliées aux fonctions de Bessel:

Avec, J±1/3 les solutions de

Les fonction de Scorer qui résolvent l'équation y′′ − xy = 1/π peuvent être exprimées grâce au fonction d'Airy:

Résolution de l'équation d'Airy[modifier | modifier le code]

L'équation d'Airy peut être résolue à l'aide de la transformée de Fourrier qu'on définit comme suit :

L'inverse de la transformée de Fourier est alors donnée par :

En utilisant cette définition de la transformée de Fourier, on a pour une fonction les relations suivantes:

En prenant la transformée de Fourier de l'équation et en utilisant les deux formules ci-dessus il vient :

Cette équation différentielle du premier ordre a pour solution la fonction :

Dans le but d'obtenir la solution de l'équation de départ, on applique la transformé de Fourrier inverse à :

En utilisant le fait que la fonction sinus est impaire, que cosinus est paire et que le domaine d'intégration est symétrique :

.

Ainsi on trouve bien que est une solution de l'équation d'Airy.

Transformée de Fourier[modifier | modifier le code]

En utilisant la définition de la fonction d'Airy, on peut montrer que:

La fonction d'Airy en physique[modifier | modifier le code]

La fonction d'Airy apparaît en mécanique quantique dans le cas d'une particule dans un potentiel unidimensionnel de la forme avec . Ainsi l'équation de Schrödinger indépendante du temps s'écrit :

la constante de Planck réduite, la masse de la particule, la fonction d'onde de la particule considérée et son énergie. Après le changement de variables suivant et quelques manipulations :

.

L'équation de Schrödinger devient:

qui a pour solution la fonction d'Airy avec un argument négatif . Un exemple physique serait une particule chargée dans un champ électrique uniforme.

Bibliographie[modifier | modifier le code]