Établissement de l'équation de propagation à partir des équations de Maxwell

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L'équation de propagation d'une onde électromagnétique peut se calculer à partir des équations de Maxwell.

Hypothèses préalables[modifier | modifier le code]

Supposons que le milieu soit linéaire, homogène et isotrope (L.H.I.). Dans ce cas :

\vec{B} = \mu \vec{H} \, et \vec{D} = \epsilon \vec{E} \,

\mu = \mu_0 \ \mu_r \, désigne la perméabilité magnétique et \epsilon = \epsilon_0 \ \epsilon_r \, est la permittivité diélectrique.

Supposons également que ces deux coefficients et la densité de charge électrique \rho ne dépendent pas des variables spatiales (ni temporelles).

Formulation des relations[modifier | modifier le code]

Exprimées à l’aide du champ électrique \vec{E} et du champ magnétique \vec{H}, les équations de Maxwell prennent alors la forme locale suivante :

  1. \vec{\mathrm{rot}}\ \vec{E} \ = \ - \ \mu \ \frac{\partial \vec{H}}{\partial t}
  2. \mu \ \mathrm{div}\ \vec{H} \ = \ 0
  3.   \vec{\mathrm{rot}} \ \vec{H} \ = \ \vec{j} \ + \ \epsilon \  \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}
  4. \epsilon \ \mathrm{div}\ \vec{E} \ = \ \rho

Équation relative au champ électrique E[modifier | modifier le code]

Pour éliminer le champ magnétique \vec H entre les relations 1 et 3, il s’agit d’appliquer le rotationnel à la première et de dériver la troisième par rapport au temps. À l’aide des hypothèses et grâce au théorème de Schwarz permettant de permuter les opérateurs différentiels spatiaux et temporels, il vient alors

\vec{\mathrm{rot}} \ \vec{\mathrm{rot}} \ \vec{E} \ + \ \mu \ \frac{\partial}{\partial t} \ \left(\vec{j} \ + \ \epsilon \ \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right) = 0.

L’identité des opérateurs vectoriels \ \vec{\mathrm{rot}}\ \vec{\mathrm{rot}}\ \vec{E} = \vec{\mathrm{grad}} \ \mathrm{div} \vec{E} \ - \ \Delta\vec{E} \ conduit ensuite à la relation

\Delta\vec{E} \ - \ \mu \ \epsilon \ \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \  \mu \ \frac{\partial \vec{j}}{\partial t} \ + \ \vec{\mathrm{grad}} \ \mathrm{div} \vec{E}

et la relation 4 implique finalement

\Delta\vec{E} \ - \ \mu \ \epsilon \ \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \  \mu \ \frac{\partial \vec{j}}{\partial t} \ + \ \frac{1}{\epsilon} \ \vec{\mathrm{grad}} \ \rho .

Équation relative au champ magnétique H[modifier | modifier le code]

Par un traitement semblable, en appliquant le rotationnel à la relation 3 et en dérivant la première par rapport au temps, il vient

\Delta\vec{H} \ - \ \mu\ \epsilon \ \frac{\partial^2 \vec{H}}{\partial t^2} = \ - \ \vec{\mathrm{rot}}\ \vec{j} .

Application à divers milieux[modifier | modifier le code]

Dans les isolants ou dans le vide[modifier | modifier le code]

La densité de courant est nulle et la densité de charge est constante. Ainsi :

\Delta\vec{E} \ - \ \frac{1}{v^2} \ \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = 0,
\Delta\vec{H} \ - \ \frac{1}{v^2} \ \frac{\partial^2 \vec{H}}{\partial t^2} = 0,

qui sont deux équations de d'Alembert dont les ondes se propagent à la vitesse v définie par \epsilon \ \mu \ v^2=1.

Dans le vide (\mu = \mu_0 et \epsilon = \epsilon_0), la vitesse de phase est celle de la lumière puisque \epsilon_0 \ \mu_0 \ c^2=1.

Le découplage entre champs magnétique et électrique dans ces deux dernières équations n’est qu’apparent : les deux champs restent en effet liés par les équations de Maxwell (relations 1 et 3 ci-dessus).

Solutions[modifier | modifier le code]

Les équations de d’Alembert possèdent comme solutions des ondes planes harmoniques : partant d’une pulsation \omega et d’un vecteur d'onde \vec{k} de norme notée k, la fonction scalaire

u(\vec{x},t) = e^{i ((\vec{k}, \vec{x}) - \omega t)}

permet de définir des champs

\vec{H}(\vec{x},t) = u(\vec{x},t) \vec{H}_0
\vec{E}(\vec{x},t) = u(\vec{x},t) \vec{E}_0

qui sont solutions lorsque k \, v = \omega.

Les équations de Maxwell imposent par ailleurs l’orthogonalité des 3 vecteurs :

(\vec{E}, \vec{H}) = (\vec{k}, \vec{E}) = (\vec{k}, \vec{H}) = 0

et le rapport des carrés des normes des champs satisfait

\mu \ ||H||^2 = \epsilon \ ||E||^2.

Dans les conducteurs ohmiques[modifier | modifier le code]

La loi d'Ohm est la relation phénoménologique liant la densité de courant au champ électrique :

\vec{j} = \sigma_{\Omega} \vec{E},

\sigma_{\Omega} étant la conductivité électrique (qui est l’inverse de la résistivité).

En supposant que la densité de charge reste constante, les équations de propagation s’écrivent alors

\Delta\vec{E} \ - \ \frac{1}{v^2} \ \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} \ - \ \sigma_{\Omega} \ \mu \ \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = 0,
\Delta\vec{H} \ - \ \frac{1}{v^2} \ \frac{\partial^2 \vec{H}}{\partial t^2} \ - \ \sigma_{\Omega} \ \mu \ \frac{\partial \vec{H}}{\partial t} = 0.

Solutions[modifier | modifier le code]

Ces équations possèdent des solutions qui sont des ondes planes amorties, en particulier des ondes harmoniques dont l’amplitude est exponentiellement décroissante : en effet, l’onde s’atténue au fur et à mesure qu’elle se propage dans le milieu conducteur.

Partant d’une pulsation \omega, d’un vecteur d’onde \vec{k} de norme k et un facteur d’amortissement \lambda, la fonction scalaire

u(\vec{x},t) = e^{- \lambda (\vec{k}, \vec{x})} \cdot e^{i ((\vec{k}, \vec{x}) - \omega t)}

est solution de l’équation aux dérivées partielles à condition de respecter deux relations liant respectivement k et \lambda à \omega.

Comme dans le cas d’un milieu isolant, il existe des choix de champs proportionnels à u(\vec{x},t) qui satisfont les équations de Maxwell : ceux-ci respectent encore l’orthogonalité des 3 vecteurs.

Le rapport des carrés des normes des champs satisfait finalement

\mu \ ||H||^2 = \epsilon \ (1 + \frac{\sigma_{\Omega}^2}{\epsilon^2 \ \omega^2})^\frac{1}{2}\ ||E||^2.

Articles connexes[modifier | modifier le code]