Équations des télégraphistes

Les équations des télégraphistes sont un système de deux équations aux dérivées partielles qui permettent de décrire l'évolution de la tension et du courant sur une ligne électrique en fonction de la distance et du temps . Ces équations ont été élaborées par Oliver Heaviside qui a développé dans les années 1880 le modèle des lignes électriques présenté dans cet article. Ce modèle permet en particulier de couvrir les phénomènes de transmission et de réflexion sur une ligne. Cette théorie est applicable à toute ligne électrique et à toute fréquence, en particulier aux lignes à haute fréquence (lignes de télégraphe par exemple), aux lignes à fréquence audio (lignes téléphoniques) ainsi qu'à basse fréquence (ligne à haute tension).

Les équations

Formulation de base

Représentation schématique des composants élémentaires d'une ligne de transmission.

Une portion de ligne électrique peut être représentée par le quadripole ci-contre où

• La résistance linéique (par unité de longueur) $R$ du conducteur est représentée par une résistance série (exprimée en ohms par unité de longueur).
• L'inductance linéique $L$ est représentée par une self (Henry par unité de longueur).
• La capacité linéique $C$ entre les 2 conducteurs est représentée par un condensateur C shunt (Farad par unité de longueur).
• La conductance linéique $G$ du milieu diélectrique séparant les 2 conducteurs est représenté par une résistance shunt (Siemens par unité de longueur). La résistance dans ce modèle a une valeur de $1/G$ ohms.

Dans ce modèle, on définit la tension en tout point éloigné d'une distance x du début de la ligne et à tout instant t $U(x,t)$ et le courant $I(x,t)$. Les équations s'écrivent :

${\frac {\partial U}{\partial x}}(x,t)=-L{\frac {\partial I}{\partial t}}(x,t)-RI(x,t)$

${\frac {\partial I}{\partial x}}(x,t)=-C{\frac {\partial U}{\partial t}}(x,t)-GU(x,t)$

Autre formulation

De la formulation ci-dessus, on peut tirer 2 équations aux dérivées partielles ne faisant chacune intervenir qu'une variable :

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}(x,t)=LC{\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}}(x,t)+(RC+GL){\frac {\partial U}{\partial t}}(x,t)+GRU(x,t)$

${\frac {\partial ^{2}I}{\partial x^{2}}}(x,t)=LC{\frac {\partial ^{2}I}{\partial t^{2}}}(x,t)+(RC+GL){\frac {\partial I}{\partial t}}(x,t)+GRI(x,t)$

Conditions initiales

Ces équations doivent être complétées par la définition de conditions initiales. On peut par exemple définir la condition de tension à l'extrémité initiale de la ligne ($U(0,t)=U_{0}\sin(2\pi ft)$ par exemple pour une ligne alimentée par une source sinusoïdale), et définir une relation entre courant et tension à l'autre extrémité de la ligne située à une distance l ($U(l,t)=R'I(l,t)$ pour une ligne chargée par une résistance R', $I(l,t)=0$ pour une ligne à vide, ...)

Cas de la ligne sans perte

Dans beaucoup de cas, on peut négliger les pertes en lignes. On pose alors R=0 et G=0. Les équations ci-dessus s'écrivent alors :

${\frac {\partial U}{\partial x}}(x,t)=-L{\frac {\partial I}{\partial t}}(x,t)$

${\frac {\partial I}{\partial x}}(x,t)=-C{\frac {\partial U}{\partial t}}(x,t)$

On peut combiner ces équations pour former les 2 équations de propagations suivantes, qui sont en fait des équations de d'Alembert :

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}(x,t)=LC{\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}}(x,t)$

${\frac {\partial ^{2}I}{\partial x^{2}}}(x,t)=LC{\frac {\partial ^{2}I}{\partial t^{2}}}(x,t)$

Les ondes se propagent alors à une célérité $c={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$ dans le vide.

Cas du régime sinusoïdal

Cas de la ligne sans perte

On considère une tension sinusoïdale complexe $U$ de pulsation $\omega$ et de vecteur d'onde ${\overrightarrow {k}}$.se propageant selon l'axe x et définie par :

$\forall (x,t)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{\text{+}},U(x,t)=U_{0}e^{j(\omega t+{\overrightarrow {k}}.{\overrightarrow {x}})}$

La dérivée partielle ${\partial U \over \partial t}$ de $U$ par rapport au temps est alors définie par :

$\forall (x,t)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{\text{+}},{\partial U \over \partial t}(x,t)=j\omega U(x,t)$

De même, la dérivée partielle ${\partial U \over \partial x}$ de $U$par rapport à x est définie par :

$\forall (x,t)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{\text{+}},{\partial U \over \partial x}(x,t)=jk_{x}{\text{ }}U(x,t)$

Dans le cas de la ligne sans pertes : ${\begin{cases}R=0\\G=0\end{cases}}$, l'équation des télégraphistes devient donc :

${\partial ^{2}U \over \partial x^{2}}(x,t)=LC{\partial ^{2}U \over \partial t^{2}}(x,t)$

Il s'agit d'une équation de propagation dont la solution générale est la somme d'une onde de tension $U_{i}$ se propageant dans les x croissants et d'une autre $U_{r}$ se propageant dans le sens des x décroissants :

$\forall (x,t)\in \mathbb {R} ^{2},U(x,t)=U_{i}(x,t)+U_{r}(x,t)$

avec

$\forall (x,t)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{\text{+}},{\begin{cases}U_{i}(x,t)=U_{i}e^{j(\omega t-k_{i}x)}\\U_{r}(x,t)=U_{r}e^{j(\omega t+k_{r}x)}\end{cases}}$

L'indice i est l'initiale de "incident" et r est celle de "réfléchie".

En injectant l'expression des tensions $U_{i}$ et $U_{r}$ dans cette équation, on obtient :

- pour $l=\lbrace i,r\rbrace :k_{l}^{2}U_{j}(x,t)=-\omega ^{2}LC{\text{ }}U_{l}(x,t)$

En simplifiant par $U_{j}(x,t)$, on obtient la relation de dispersion suivante :

$k_{l}^{2}=-\omega ^{2}LC$

soit

$k_{l}=j\omega {\sqrt {LC}}$

Donc pour les ondes incidente et réfléchie, le nombre d'onde est imaginaire pur.

La constante d'atténuation $\alpha =\Re (k_{l})$ est nulle et la constante de propagation $\beta =\Im (k_{l})=\omega {\sqrt {LC}}$ et en posant $k=\omega {\sqrt {LC}}$, l'expression de la tension $U$ est :

$\forall (x,t)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{\text{+}},U(x,t)=U_{i}e^{j(\omega t-kx)}+U_{r}e^{j(\omega t+kx)}$

Puisque la constante d'atténuation $\alpha$ est nulle, la propagation se fait bien sans pertes.

Vitesse de propagation et impédance caractéristique

Puisque $U_{i}$ se propage dans le sens des x croissants et $U_{r}$, dans le sens des x décroissants alors leur expression est de la forme

${\begin{cases}U_{i}(x,t)=U_{i}{\Bigl (}t-{x \over v_{i}}{\Bigr )}\\U_{r}(x,t)=U_{r}{\Bigl (}t+{x \over v_{r}}{\Bigr )}\end{cases}}$avec ${\begin{cases}v_{i},{\text{la vitesse de propagation de l'onde incidente}}\\v_{r},{\text{la vitesse de propagation de l'onde réfléchie}}\end{cases}}$

La vitesse de propagation est la vitesse à laquelle se déplace la phase de l'onde.

D'après l'étude précédente sur les solutions de l'équation des télégraphistes en régime sinusoïdal sans pertes, on a :

${\begin{cases}U_{i}(x,t)=U_{i}{\Bigl (}t-{x \over v}{\Bigr )}=U_{i0}\ e^{j(\omega t-kx)}=U_{i0}\ e^{j\omega {\Bigl (}t-{k \over \omega }x{\Bigr )}}\\U_{r}(x,t)=U_{i}{\Bigl (}t+{x \over v}{\Bigr )}=U_{r0}\ e^{j(\omega t+kx)}=U_{r0}\ e^{j\omega {\Bigl (}t+{k \over \omega }x{\Bigr )}}\end{cases}}$

Par identification, on a :

$v_{i}=v_{r}={\omega \over k}$

La vitesse de propagation de l'onde incidente et de l'onde réfléchie vaut donc $v={\omega \over k}$.

Références

• Bernard DÉMOULIN, Éléments sur la théorie des lignes de transmission, Techniques de l'ingénieur d1322

Voir aussi

• Angle de transport