Les équations des télégraphistes sont un système de deux équations aux dérivées partielles qui permettent de décrire l'évolution de la tension et du courant sur une ligne électrique en fonction de la distance et du temps. Ces équations ont été élaborées par Oliver Heaviside qui a développé dans les années 1880 le modèle des lignes électriques présenté dans cet article. Ce modèle permet en particulier de couvrir les phénomènes de transmission et de réflexion sur une ligne. Cette théorie est applicable à toute ligne électrique et à toute fréquence, en particulier aux lignes à haute fréquence (lignes de télégraphe par exemple), aux lignes à fréquence audio (lignes téléphoniques) ainsi qu'à basse fréquence (ligne à haute tension).
Représentation schématique des composants élémentaires d'une ligne de transmission.
Une portion de ligne électrique peut être représentée par le quadripole ci-contre où :
- la résistance linéique (par unité de longueur)
du conducteur est représentée par une résistance série (exprimée en ohms par unité de longueur) ;
- l'inductance linéique
est représentée par une bobine (henrys par unité de longueur) ;
- la capacité linéique
entre les deux conducteurs est représentée par un condensateur C shunt (farads par unité de longueur) ;
- la conductance linéique
du milieu diélectrique séparant les deux conducteurs est représenté par une résistance shunt (siemens par unité de longueur). La résistance dans ce modèle a une valeur de
ohms.
Dans ce modèle, on définit la tension en tout point éloigné d'une distance x du début de la ligne et à tout instant t
et le courant
. Les équations s'écrivent :


De la formulation ci-dessus, on peut tirer deux équations aux dérivées partielles ne faisant chacune intervenir qu'une variable :


Ces équations doivent être complétées par la définition de conditions initiales. On peut par exemple définir la condition de tension à l'extrémité initiale de la ligne (
par exemple pour une ligne alimentée par une source sinusoïdale), et définir une relation entre courant et tension à l'autre extrémité de la ligne située à une distance l (
pour une ligne chargée par une résistance
,
pour une ligne à vide, etc.).
Dans beaucoup de cas, on peut négliger les pertes en ligne. On pose alors
et
. Les équations ci-dessus s'écrivent alors :


On peut combiner ces équations pour former les deux équations de propagations suivantes, qui sont en fait des équations de d'Alembert :


Les ondes se propagent alors à une célérité
dans le vide.
On considère une tension sinusoïdale complexe
de pulsation
et de vecteur d'onde
se propageant selon l'axe x et définie par :

La dérivée partielle
de
par rapport au temps est alors définie par :

De même, la dérivée partielle
de
par rapport à x est définie par :

Dans le cas de la ligne sans pertes :
, l'équation des télégraphistes devient donc :

Il s'agit d'une équation de propagation dont la solution générale est la somme d'une onde de tension
se propageant dans les x croissants et d'une autre
se propageant dans le sens des x décroissants :

avec

L'indice i est l'initiale de « incident » et r est celle de « réfléchie ».
En injectant l'expression des tensions
et
dans cette équation, on obtient :
- pour

En simplifiant par
, on obtient la relation de dispersion suivante :

soit

Donc pour les ondes incidente et réfléchie, le nombre d'onde est imaginaire pur.
La constante d'atténuation
est nulle et la constante de propagation
et en posant
, l'expression de la tension
est :

Puisque la constante d'atténuation
est nulle, la propagation se fait bien sans pertes.
Vitesse de propagation et impédance caractéristique[modifier | modifier le code]
Puisque
se propage dans le sens des x croissants et
, dans le sens des x décroissants alors leur expression est de la forme
avec 
La vitesse de propagation est la vitesse à laquelle se déplace la phase de l'onde.
D'après l'étude précédente sur les solutions de l'équation des télégraphistes en régime sinusoïdal sans pertes, on a :

Par identification, on a :

La vitesse de propagation de l'onde incidente et de l'onde réfléchie vaut donc
.