Inégalité de Bonse

En théorie des nombres, l'inégalité de Bonse, du nom de H. Bonse, permet une comparaison entre un nombre primoriel et le plus petit nombre premier qui ne figure pas dans sa décomposition.

Elle déclare que si p₁, ..., p_n, p_n+1 sont les n + 1 plus petits nombres premiers et n ≥ 4, alors

$p_{n}\#=p_{1}\cdots p_{n}>p_{n+1}^{2}$ ou $p_{n+1}<{\sqrt {p_{n}\#}}$.

Elle est une conséquence facile du postulat de Bertrand : $p_{n+1}<2p_{n}$ ; en effet $p_{n+1}^{2}<4p_{n}^{2}<8p_{n-1}p_{n}<2\times 3\times 5\times p_{n-1}p_{n}\leqslant p_{1}p_{2}...p_{n}$ pour $n\geqslant 5$, le cas $n=4$ se montrant à la main.

Mais elle possède une démonstration élémentaire directe plus courte que celle du postulat de Bertrand .

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Bonse's inequality » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• (en) J. V. Uspensky et M. A. Heaslet, Elementary Number Theory, New York, McGraw-Hill, 1939, p. 87
• (en) Shaohua Zhang, « A new inequality involving primes », 2009 (arXiv 0908.2943)