Écart entre nombres premiers

En théorie des nombres, l'écart entre nombres premiers désigne la différence entre deux nombres premiers consécutifs.

De nombreux résultats et conjectures sont liés à cet objet. Par exemple la conjecture des nombres premiers jumeaux dit que la suite des écarts entre nombres premiers prend la valeur 2 un nombre infini de fois.

Ainsi les 30 premiers écarts (suite A001223 de l'OEIS) sont :

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14.

Définition

En notant $p_{n}$ le n-ième nombre premier, le n-ième écart est :

$g_{n}=p_{n+1}-p_{n}$.

Ce qui permet aussi d'écrire

$p_{n+1}=2+\sum _{i=1}^{n}g_{i}$.

Observations simples

De même que $(p_{n})$, la suite $(g_{n})$ est non bornée : si l'on note q_n le produit p₁…p_n, tous les entiers de q_n + 2 à q_n + p_n sont composés.

Le premier écart, qui est à la fois le plus petit et le seul écart impair est 1, entre le seul nombre premier pair, 2, et le premier nombre premier impair, 3. Tous les autres écarts sont pairs.

(3, 5, 7) est l'unique triplet de nombres premiers consécutifs dont l'écart est 2.

Résultats et conjectures

Tracé de $g_{n}$ et de diverses bornes.

D'après le postulat de Bertrand, $g_{n}<p_{n}$.

Le théorème des nombres premiers suggère que $g_{n}$ est asymptotiquement de l'ordre de $\log n$, et la conjecture de Cramér pronostique un comportement en le carré du logarithme. La conjecture des nombres premiers jumeaux dit qu'elle prend la valeur 2 une infinité de fois.

L'écart le plus fréquent entre nombres premiers est d'abord 2, puis 6, et l'on conjecture que ce serait ensuite 30, 210, 2310, … c'est-à-dire les primorielles de p_n.

Voir aussi

Article connexe

Inégalité de Bonse

Lien externe

(en) Terence Tao, « Small and large gaps in the primes (slides) », avril 2015