Vecteur unitaire

Dans un espace vectoriel normé (réel ou complexe) E, un vecteur unitaire est un vecteur dont la norme est égale à 1.

• Si le corps des scalaires est R, deux vecteurs unitaires v et w sont colinéaires si et seulement si v = w ou v = –w.
• Si le corps des scalaires est C, et si v est un vecteur unitaire de E, alors les vecteurs unitaires colinéaires à v sont αv où α est un complexe de module 1.

Les vecteurs unitaires permettent de définir la direction et le sens d'un vecteur non nul de E. Tout vecteur non nul v est la multiplication du vecteur unitaire u = v/║v║ par un nombre réel strictement positif, à savoir la norme ║v║ de v.

v = ║v║u.

En physique, pour dénoter les vecteurs unitaires, il est usuel^{[réf. nécessaire]} d'utiliser un accent circonflexe: ${\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}$. En mécanique quantique, les états sont des vecteurs unitaires d'espaces de Hilbert. En particulier, les fonctions d'onde sont des fonctions sur R³ de carré sommable et de norme L² égale à 1.

Dérivation des vecteurs unitaires

Soit E un espace euclidien ou hermitien, et soit une fonction dérivable $t\mapsto e(t)$ à valeurs dans E, telle que pour tout t, e(t) est un vecteur unitaire. Alors le vecteur dérivé e'(t) est orthogonal à e(t). C'est le cas notamment pour les vecteurs de toutes les bases orthonormales mobiles.

En effet, le carré de la norme de e(t) est une fonction constante en t – donc de dérivée nulle –. Sa dérivée est

$0={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\|e(t)\|^{2}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle e(t)\mid e(t)\rangle =2\langle e'(t)\mid e(t)\rangle$.

Par définition de l'orthogonalité, les vecteurs e(t) et e'(t) sont deux vecteurs orthogonaux pour tout t.

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