Variété complexe

Les variétés complexes ou plus généralement les espaces analytiques complexes (en) sont les objets d'étude de la géométrie analytique complexe. Une variété complexe de dimension n est un espace topologique obtenu par recollement d'ouverts de Cⁿ selon des biholomorphismes, c'est-à-dire des bijections holomorphes.

Définitions

Plus précisément, une variété complexe de dimension n est un espace topologique dénombrable à l'infini (c'est-à-dire localement compact et σ-compact) possédant un atlas de cartes sur Cⁿ, tel que les applications de changement de cartes soient des biholomorphismes.

Ainsi, les variétés complexes sont définies de façon analogue aux variétés différentielles mais en remplaçant R par C, y compris dans la notion de différentiabilité. Toute variété complexe de dimension n possède une structure canonique de variété différentielle orientable de dimension 2n.

Les variétés complexes de dimension 1 sont appelées surfaces de Riemann.

Si X est une variété algébrique non singulière sur C, alors on peut la munir canoniquement d'une structure de variété complexe. Par exemple, l'espace projectif Pⁿ(C) est une variété complexe compacte de dimension n.

Si X et Y sont deux variétés complexes, une application de X dans Y est dite holomorphe lorsque, lue dans les cartes, elle est holomorphe.

Les fonctions holomorphes d'une variété complexe compacte connexe dans C sont constantes (conséquence du principe du maximum).

Variétés hermitiennes et kählériennes

• Une variété hermitienne est une variété complexe munie d'une métrique hermitienne h.
• Une variété kählérienne est une variété hermitienne dont la 2-forme hermitienne associée $\omega ={\frac {i}{2}}(h+{\bar {h}})$ est fermée.