Théorème de sélection de Michael

En mathématiques, le théorème de sélection de Michael, est un théorème d'analyse fonctionnelle démontré en 1956 par Ernest Michael (en). Il s'énonce comme suit :

Si X est un espace paracompact alors, toute multifonction hémicontinue inférieurement Γ, de X dans un espace de Banach E et à valeurs des convexes fermées non vides, possède une « sélection » continue, c'est-à-dire qu'il existe une application continue f : X → E telle que pour tout x de X, f(x) appartienne à Γ(x).

Michael a aussi démontré la réciproque, si bien que cette propriété caractérise les espaces paracompacts (parmi les espaces séparés).

Démonstration

Soit d la distance associée à la norme sur E. On construit par récurrence une suite de fonctions continues f_n vérifiant, pour tout entier naturel n et tout x dans X : d(f_n(x), Γ(x)) < 2^–n et d(f_n+1(x), f_n(x)) < 3.2^–n–1. Le lemme ci-dessous permet en effet de construire une fonction f₀ à distance constamment < 1 de φ₀ := Γ puis, pour tout n > 0, une fonction f_n à distance constamment < 2^–n de φ_n := Γ∩B(f_n–1, 2^–n+1). La limite uniforme des f_n constitue alors une sélection continue pour Γ.

Lemme — Soient X un espace paracompact, V un espace vectoriel normé et φ : X → V une multifonction hémicontinue inférieurement, à valeurs convexes non vides. Pour tout r > 0, la multifonction B(φ, r) : x ↦ { y∈Y | d(y, φ(x)) < r } possède une sélection continue.

Ce lemme est un cas particulier du théorème suivant.

Théorème de sélection de Browder

Théorème — Soient X un espace paracompact et Y un espace vectoriel topologique. Toute multifonction ψ : X → Y à valeurs convexes non vides et à valeurs inverses ouvertes possède une sélection continue.

Démonstration

Pour tout vecteur y de Y, notons U_y la valeur inverse de ψ en y, c'est-à-dire l'ouvert (éventuellement vide) des x tels que y ∈ ψ(x). Soit (g_y)_y∈Y une partition de l'unité localement finie subordonnée au recouvrement de X par les U_y. Alors, la fonction

$x\mapsto \sum _{y\in Y}g_{y}(x)y$est une sélection continue de ψ.

Théorème de Bartle-Graves

Un corollaire du théorème de sélection de Michael est le théorème de BartleRobert G. Bartle-Graves :

Théorème — Toute surjection linéaire continue d'un espace de Banach dans un autre possède une section continue.

Voir aussi

Articles connexes

• Extenseur absolu
• Théorème de sélection approchée
• Théorème de sélection mesurable de Kuratowski et Ryll-Nardzewski (en)

Liens externes

(en) Heikki Junnila, A Second Course in General Topology, 2007-8/2014, chap. III, § 3 : Partitions of unity et § 4 : Continuous selections

Bibliographie

• (en) Jean-Pierre Aubin et Arrigo Cellina, Differential Inclusions, Set-Valued Maps And Viability Theory, Grundl. der Math. Wiss., vol. 264, Springer, 1984
• (en) Jean-Pierre Aubin et Hélène Frankowska, Set-Valued Analysis, Birkhäuser, 1990 [lire en ligne]
• (en) Klaus Deimling, Multivalued Differential Equations, Walter de Gruyter, 1992 [lire en ligne]
• (en) Shouchuan Hu et Nikolas S. Papageorgiou, Handbook of Multivalued Analysis, vol. I, Springer, 1997
• (en) Dušan Repovš et Pavel V. Semenov, Continuous Selections of Multivalued Mappings, Kluwer, 1998 [lire en ligne]
• (en) D. Repovš et P. V. Semenov, « Ernest Michael and theory of continuous selections », Topol. Appl., vol. 155, n^o 8,‎ 2008, p. 755-763, arXiv:0803.4473