Théorème de plongement de Mitchell

Le théorème de plongement de Mitchell, aussi connu sous le nom du théorème de Freyd-Mitchell, est un énoncé important portant sur les catégories abéliennes ; il énonce que ces catégories, bien que définies abstraitement, sont en fait des catégories concrètes de modules. Ceci permet alors de partir à la chasse au diagramme dans de telles catégories. Ce théorème est attribué aux mathématiciens Barry Mitchell et Peter Freyd.

Principe

Précisément, le théorème s'énonce ainsi : pour A une petite catégorie abélienne, il existe un anneau R, unitaire et non commutatif en général, ainsi qu'un foncteur F: A → R-Mod, plein, fidèle et exact, de la catégorie A dans la catégorie des R-modules à gauche.

Ce foncteur F établit une équivalence entre A et une sous catégorie pleine de R-Mod compatible avec les notions de noyaux et conoyaux et donc compatible avec la notion de suite exacte. Cependant, ce foncteur ne conserve pas les propriétés d'un objet de A d'être projectif ou injectif (un module sur un anneau est toujours injectif et projectif sur la catégorie constituée par lui-même et 0 et comme seuls morphismes 0, et les multiples de l'identité).

Aperçu de la preuve

Soit ${\mathcal {L}}\subset \operatorname {Fun} ({\mathcal {A}},Ab)$ la catégorie des foncteurs exacts à gauche de la catégorie abélienne ${\mathcal {A}}$ vers la catégorie des groupes abéliens $Ab$. On construit un contravariant $H:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {L}}$ tel que $H(A)=h^{A}$ pour tout $A\in {\mathcal {A}}$, où $h^{A}$ est le foncteur Hom covariant tel que $h^{A}(X)=\operatorname {Hom} _{\mathcal {A}}(A,X)$. Le lemme de Yoneda noud donne la nature pleine et fidéle de $H$. On a directement l'exactitude à gauche de $H$ car $h^{A}$ est déjà exact à gauche. La preuve de l'exactitude à droite de $H$ est plus dure, on peut la retrouver dans les Lecture Notes in Mathematics 76 de R. G. Swan.

On prouve ensuite que ${\mathcal {L}}$ est une catégorie abélienne en utilisant la théorie de la localisation (de Swan). C'est la partie difficile de la preuve.

Il est facile de vérifier que la catégorie abélienne ${\mathcal {L}}$ est une catégorie AB5 avec un générateur $\bigoplus _{A\in {\mathcal {A}}}h^{A}$. C'est en fait une catégorie de Grothendieck qui admet donc un cogénérateur $I$.

L'anneau des endomorphismes $R:=\operatorname {Hom} _{\mathcal {L}}(I,I)$ est celui dont on a besoin pour la catégorie des R-modules.

Avec $G(B)=\operatorname {Hom} _{\mathcal {L}}(B,I)$, on a un autre contravariant, exact et pleinement fidèle en posant $G:{\mathcal {L}}\to R\operatorname {-Mod} .$Le produit $GH:{\mathcal {A}}\to R\operatorname {-Mod}$ est le covariant exact que l'on recherche, il est pleinement fidèle.

A noter que la preuve du théorème de Gabriel–Quillen , pour les catégories exactes, est presque identique.

Références

• (en) R. G. Swan, Lecture Notes in Mathematics 76, Springer, 1968
• (en) Peter Freyd, Abelian categories, Harper and Row, 1964
• (en) Barry Mitchell, The full imbedding theorem, The Johns Hopkins University Press, 1964
• (en) Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 1993

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Mitchell's embeding theorem » (voir la liste des auteurs).