Théorème de Sard

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Le théorème de Sard, connu aussi sous le nom de lemme de Sard ou théorème de Morse-Sard, est un résultat de mathématiques qui donne des informations sur l'image K de l'ensemble des points critiques d'une fonction suffisamment régulière d'un espace euclidien vers un autre. L'ensemble K est alors négligeable pour la mesure de Lebesgue.

Énoncé[modifier | modifier le code]

On considère une fonction f définie sur un ouvert U de \mathbb{R}^n, à valeurs dans \mathbb{R}^m, et de classe C^r.

On appelle points critiques les points en lesquels l'application différentielle de f est non surjective, et valeurs critiques les images des points critiques. Les valeurs non critiques sont dites régulières (qu'elles soient des valeurs effectivement prises par f ou non).

Avec ces notations, le théorème de Sard s'énonce

si r>\max(0,n-m), alors l'ensemble des valeurs critiques a une mesure de Lebesgue nulle.

En revanche, l'ensemble des points critiques peut être très important, par exemple si n < m, tous les points sont critiques, mais l'ensemble image de f sera quand même de mesure nulle.

Il résulte notamment du théorème que l'ensemble des valeurs régulières est dense dans \mathbb{R}^m, un fait déjà prouvé par A. Brown en 1935[1], d'où le nom de théorème de densité de Sard (ou de Sard-Brown) parfois donné au théorème[2].

Le cas m = 1 a été prouvé par Anthony Morse (en) en 1939[3], et le cas général par Arthur Sard en 1942[4]. Une version pour les espaces de Banach de dimension infinie a été prouvée par Stephen Smale[5].

Notes[modifier | modifier le code]

  1. (en) A. Brown, Functional dependence, Trans. Amer. Math. Soc. 38 (1935), 379-394
  2. « The theorem of Sard and Brown » chez Milnor, « Sard's density theorem » pour Abraham-Robbin
  3. (en) A. P. Morse, The behavior of a function on its critical set, Ann. Math. 40 (1939), p. 62-70
  4. (en) A. Sard, The measure of the critical values of differentiable maps, Bull. Amer. Math. Soc. 48 (1942), p. 883-890
  5. (en) S. Smale, An infinite dimensional version of Sard's theorem, Amer. J. Math. 87 (1965), p 861-866

Références[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

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