Superalgèbre de Lie

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Une superalgèbre de Lie est une extension de la notion d'algèbre de Lie. C'est la donnée d'un espace vectoriel $E=E_0 \oplus E_1$ muni d'une gradation $\mathbb{Z}_2$ $\sigma$ (compatible avec la précédente décomposition), d'un supercrochet de Lie $\{.,.\}:E\times E\rightarrow E\,$ vérifiant

$\forall x,y \in E_0 \bigsqcup E_1 \quad \left\{x,y\right\} = -(-1)^{\sigma(x)\sigma(y)}\left\{y,x\right\}$

ainsi que la relation de superJacobi

$\forall x,y,z \in E_0 \bigsqcup E_1 \quad (-1)^{\sigma(x)\sigma(z)}\left\{x,\left\{y,z\right\}\right\}+(-1)^{\sigma(y)\sigma(x)}\left\{y,\left\{z,x\right\}\right\}+(-1)^{\sigma(z)\sigma(y)}\left\{z,\left\{x,y\right\}\right\} = 0$

Ces relations s'étendent ensuite sur tout $E$ par bilinéarité.

Voir aussi

• Algèbre de Lie
• Relation de Jacobi
• Crochet de Lie