Rayonnement continu de freinage

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

Le rayonnement continu de freinage ou bremsstrahlung (prononcé en allemand [ˈbʁɛmsˌʃtʁaːlʊŋ ] Prononciation du titre dans sa version originale Écouter, de bremsen « freiner » et Strahlung « radiation », c.-à-d. « radiation de freinage » ou « radiation de décélération » est un rayonnement électromagnétique à spectre large créé par le ralentissement de charges électriques. On parle aussi de rayonnement blanc.

Création d'un rayonnement par freinage d'un électron dans le champ électrique d'un noyau atomique.

Lorsqu'une cible solide est bombardée par un faisceau d'électrons, ceux-ci sont freinés et déviés par le champ électrique des noyaux de la cible. Or, selon les équations de Maxwell, toute charge dont la vitesse varie, en valeur absolue ou en direction, rayonne. Comme l'énergie liée à la décélération des électrons est quantifiée suivant des valeurs fortement rapprochées (comme le prévoit la fonction de distribution de translation associée), cela crée un flux de photons dont le spectre en énergie est quasiment continu.

Applications[modifier | modifier le code]

Ce procédé est notamment utilisé pour produire des rayons X, dans les générateurs de rayons X et les synchrotrons. Ces deux sources ne donnent pas le même type de spectre. En effet, le rayonnement synchrotron est purement continu, contrairement à celui d'un tube à rayons X, qui comporte quelques raies spectrales, dû à des transitions électroniques.

Forme du spectre[modifier | modifier le code]

L'énergie maximale des photons est l'énergie cinétique initiale E0 des électrons. Le spectre en énergie s'arrête donc à cette valeur E0. Si l'on trace le spectre en longueur d'onde (représentation la plus fréquente), on a un spectre qui commence à λ0 qui vaut

\lambda_0 = \frac{hc}{E_0}

ou encore

\lambda_0 = \frac{hc}{e U}

et dont l'énergie est maximale pour λmax qui vaut

\lambda_\mathrm{max} =\frac 3 2 \lambda_0

Bremsstrahlung thermique[modifier | modifier le code]

Le spectre de puissance du Bremsstrahlung décroît rapidement de l'infini (lorsque \omega=0) à zéro (lorsque \omega \rightarrow \infty). Ce tracé est valide pour le cas quantique T_e > 27,2 Z^2 eV et la constante K = 3,17.

Dans un plasma, les électrons libres produisent constamment un Bremsstrahlung lorsqu'ils entrent en collision avec des ions. Dans un plasma uniforme contenant des électrons thermiques[note 1], la densité spectrale de puissance[note 2] du Bremsstrahlung émis se calcule à partir de l'équation différentielle[1] :

 {dP_\mathrm{Br} \over d\omega} = {4\sqrt 2 \over 3\sqrt\pi} \left[ n_er_e^3 \right]^2 
    \left[ { \frac{m_ec^2}{k_B T_e} } \right]^{1/2} 
    \left[ {m_ec^2 \over r_e^3} \right] Z_\mathrm{eff} E_1(w_m) ,

n_e est la densité des électrons, r_e est le rayon classique de l'électron, m_e est la masse de l'électron, k_B est la constante de Boltzmann et c est la vitesse de la lumière dans le vide. Les deux premiers facteurs entre crochets à la droite de l'égalité sont sans dimension. L'état de la charge « efficace » d'un ion,  Z_\mathrm{eff}, est une moyenne de la charge de tous les ions :

Z_\mathrm{eff} = \sum_Z Z^2 {n_Z \over n_e} ,

n_Z est le nombre de densité des ions portant une charge de Z. La fonction E_1 est une exponentielle intégrale. La fonction w_m se calcule selon :

w_m = {\omega^2 m_e \over 2k_m^2 k_B T_e}

avec k_m le nombre d'onde maximum ou de coupure. k_m = K/\lambda_B quand k_B T_e > 27,2 Z^2eV (pour une seule espèce d'ions ; 27,2 eV est le double de l'énergie d'ionisation de l'hydrogène) où K est un nombre pur et \lambda_B=\hbar/(m_e k_B T_e)^{1/2} est la longueur d'onde de De Broglie. Sinon, k_m \propto 1/l_cl_c est la distance classique de Coulomb selon la trajectoire la plus proche.

dP_\mathrm{Br}/d\omega est infini à \omega=0 et décroît rapidement selon \omega. Dans certains cas précis, il est possible de calculer analytiquement la primitive de l'équation différentielle.

Pour le cas k_m = K/\lambda_B, nous avons

w_m = {1 \over 2K^2} \left[\frac{\hbar\omega}{k_B T_e}\right]^2 .

Dans ce cas, la densité de puissance, intégrée sur toutes les fréquences, est finie et vaut

P_\mathrm{Br} = {8 \over 3} \left[ n_er_e^3 \right]^2 
    \left[ {k_B  T_e \over m_ec^2} \right]^{1/2} 
    \left[ {m_ec^3 \over r_e^4} \right] Z_\mathrm{eff} \alpha K .

La constante de structure fine \alpha apparaît dû à la nature quantique de \lambda_B. En pratique, une version couramment utilisée de cette formule est[2] :

P_\mathrm{Br} [\textrm{W/m}^3] = \left[{n_e \over 7.69 \times 10^{18} \textrm{m}^{-3} }\right]^2 T_e[\textrm{eV}]^{1/2} Z_\mathrm{eff} .

Cette formule est proche de la valeur théorique si K=3,17 ; la valeur K=3 est suggérée par Ichimaru[1].

Pour des températures très élevées, il faut apporter des corrections relativistes en ajoutant des termes d'ordre kBTe/mec2 [3].

Si le plasma est optiquement mince, la radiation du Bremsstrahlung quitte le plasma, emportant une partie de son énergie. Cet effet est appelé « refroidissement par Bremsstrahlung ».

La description de la mécanique quantique[modifier | modifier le code]

La description entière de le mécanique quantique a été exécuté pour la première fois par Bethe et Heitler [4]. Ils supposaient une onde plaine pour des électrons qui sont éparpillés au noyau atomique, et ont déduit une section efficace qui rattache la géométrie entière de ce procès à la fréquence du photon émis. La section efficace, qui montre une symétrie de la mécanique quantique à la création de paires, est:


\begin{align}
d^4\sigma &=
\frac{Z^2\alpha_{fine}^3\hbar^2}{(2\pi)^2}\frac{|\vec{p}_f|}{|\vec{p}_i|}
\frac{d\omega}{\omega}\frac{d\Omega_i d\Omega_f d\Phi}{|\vec{q}|^4}\times
 \\
&\times \left[
\frac{\vec{p}_f^2\sin^2\Theta_f}{(E_f-c|\vec{p}_f|\cos\Theta_f)^2}\left
(4E_i^2-c^2\vec{q}^2\right)\right. \\
&+ \frac{\vec{p}_i^2\sin^2\Theta_i}{(E_i-c|\vec{p}_i|\cos\Theta_i)^2}\left
(4E_f^2-c^2\vec{q}^2\right)  \\
&+ 2\hbar^2\omega^2\frac{\vec{p}_i^2\sin^2\Theta_i+\vec{p}_f^2\sin^2\Theta_f}{(E_f-c|\vec{p}_f|\cos\Theta_f)(E_i-c|\vec{p}_i|\cos\Theta_i)}
\\
&- 2\left.\frac{|\vec{p}_i||\vec{p}_f|\sin\Theta_i\sin\Theta_f\cos\Phi}{(E_f-c|\vec{p}_f|\cos\Theta_f)(E_i-c|\vec{p}_i|\cos\Theta_i)}\left(2E_i^2+2E_f^2-c^2\vec{q}^2\right)\right].
\end{align}

Là, Z est la numéro atomique, \alpha_{fine}\approx 1/137 la constante de structure fine, \hbar la constante de Planck réduit et c la vitesse de la lumière. L'énergie cinétique E_{kin,i/f} de l'électron dans l'état initial et final est connexe avec son énergie totale E_{i,f} et sa quantité de mouvement \vec{p}_{i,f} par


E_{i,f}=E_{kin,i/f}+m_e c^2=\sqrt{m_e^2 c^4+\vec{p}_{i,f}^2 c^2},

m_e est la masse de l'électron. Conservation de l'énergie débite


E_f=E_i-\hbar\omega,

 \hbar\omega est l'énergie cinétique du photon. Les directions du photon émis et de l'électron éparpillé sont donnés par


\begin{align}
\Theta_i&=\sphericalangle(\vec{p}_i,\vec{k}),\\
\Theta_f&=\sphericalangle(\vec{p}_f,\vec{k}),\\
\Phi&=\text{Angle entre les plaines } (\vec{p}_i,\vec{k}) \text{ et } (\vec{p}_f,\vec{k}),
\end{align}

\vec{k} est la quantité de mouvement du photon.

Les différentielles sont données par


\begin{align}
d\Omega_i&=\sin\Theta_i\ d\Theta_i,\\
d\Omega_f&=\sin\Theta_f\ d\Theta_f.
\end{align}

La valeur absolue du photon virtuel entre le noyau atomique et l'électron est


\begin{align}
-\vec{q}^2&=-|\vec{p}_i|^2-|\vec{p}_f|^2-\left(\frac{\hbar}{c}\omega\right)^2+2|\vec{p}_i|\frac{\hbar}{c}
\omega\cos\Theta_i-2|\vec{p}_f|\frac{\hbar}{c} \omega\cos\Theta_f\\
&+2|\vec{p}_i||\vec{p}_f|(\cos\Theta_f\cos\Theta_i+\sin\Theta_f\sin\Theta_i\cos\Phi).
\end{align}

La validité est donnée par la Born-approximation


v\gg\frac{Zc}{137}

où cette relation est vraie pour la vélocité  v du électron dans l'état initial et final.

Pour les applications pratiques (par exemple des codes de Monte Carlo) il peut être intéressant de se concentrer sur la relation entre la fréquence du photon émis et l'angle entre ce photon et l'électron entré. Köhn et Ebert [5] ont intégré la section efficace de Bethe et Heitler sur \Phi et \Theta_f et ont obtenu:


\frac{d^2\sigma (E_i,\omega,\Theta_i)}{d\omega d\Omega_i
}=\sum\limits_{j=1}^{6} I_j

avec


\begin{align}
I_1&=\frac{2\pi A}{\sqrt{\Delta_2^2+4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i}}
\ln\left(
\frac{\Delta_2^2+4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i-\sqrt{\Delta_2^2+4p_i^2p_f^2\sin^2
\Theta_i}(\Delta_1+\Delta_2)+\Delta_1\Delta_2}{-\Delta_2^2-4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i
-\sqrt{\Delta_2^2+4p_i^2p_f^2\sin^2 \Theta_i}(\Delta_1-\Delta_2)+\Delta_1\Delta_2
}\right)  \\
&\times\left[1+\frac{c\Delta_2}{p_f(E_i-cp_i\cos\Theta_i)}-\frac{p_i^2c^2\sin^2\Theta_i}
{(E_i-cp_i\cos\Theta_i)^2}-\frac{2\hbar^2\omega^2p_f\Delta_2}{c(E_i-cp_i\cos
\Theta_i)(\Delta_2^2+4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i)}\right],\\
I_2&=-\frac{2\pi Ac}{p_f(E_i-cp_i\cos\Theta_i)}\ln\left(
\frac{E_f+p_fc}{E_f-p_fc}\right), \\
I_3&=\frac{2\pi A}{\sqrt{(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2+4m^2c^4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i
}} \\
&\times\ln\Bigg(\Big((E_f+p_fc)(4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i(E_f-p_fc)+(\Delta_1+\Delta_2)
((\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc) \\
&-\sqrt{(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2+4m^2c^4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i}))\Big)\Big((E_f-p_fc)
(4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i(-E_f-p_fc)  \\
&+(\Delta_1-\Delta_2)
((\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)-\sqrt{(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2+4m^2c^4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i}))\Big)^{-1}
\Bigg) \\
&\times\left[-\frac{(\Delta_2^2+4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i)(E_f^3+E_fp_f^2c^2)+p_fc(2
(\Delta_1^2-4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i)E_fp_fc+\Delta_1\Delta_2(3E_f^2+p_f^2c^2))}{(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2+4m^2c^4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i}\right.\\
&-\frac{c(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)}{p_f(E_i-cp_i\cos\Theta_i)} \\
&-\frac{4E_i^2p_f^2(2(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2-4m^2c^4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i)(\Delta_1E_f+\Delta_2p_fc)}{((\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2+4m^2c^4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i)^2} \\
&+\left.\frac{8p_i^2p_f^2m^2c^4\sin^2\Theta_i(E_i^2+E_f^2)-2\hbar^2\omega^2p_i^2\sin^2\Theta_ip_fc(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)+
2\hbar^2\omega^2p_f m^2c^3(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)}
{(E_i-cp_i\cos\Theta_i)((\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2+4m^2c^4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i)}\right], \\
I_4&=-\frac{4\pi Ap_fc(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)}{(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2+4m^2c^4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i}
-\frac{16\pi E_i^2p_f^2
A(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2}{((\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2+4m^2c^4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i)^2}, \\
I_5&=\frac{4\pi A}{(-\Delta_2^2+\Delta_1^2-4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i)
((\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2+4m^2c^4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i)}\\
&\times\left[\frac{\hbar^2\omega^2p_f^2}{E_i-cp_i\cos\Theta_i}\right.\\
&\times\frac{E_f[2\Delta_2^2(\Delta_2^2-\Delta_1^2)+8p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i(\Delta_2^2+\Delta_1^2)]
+p_fc[2\Delta_1\Delta_2(\Delta_2^2-\Delta_1^2)+16\Delta_1\Delta_2p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i]}{\Delta_2^2+4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i}\\
&+ \frac{2\hbar^2\omega^2 p_i^2\sin^2\Theta_i(2\Delta_1\Delta_2
p_fc+2\Delta_2^2E_f+8p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i E_f)}{E_i-cp_i\cos\Theta_i}\\
&+\frac{2E_i^2p_f^2\{2(\Delta_2^2-\Delta_1^2)(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2
+8p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i[(\Delta_1^2+\Delta_2^2)(E_f^2+p_f^2c^2)
+4\Delta_1\Delta_2E_fp_fc]\}}{((\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2+4m^2c^4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i)}\\
&+\left.\frac{8p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i(E_i^2+E_f^2)(\Delta_2p_fc +\Delta_1
E_f)}{E_i-cp_i\cos\Theta_i}\right],\\
I_6&=\frac{16\pi E_f^2p_i^2\sin^2\Theta_i A}{(E_i-cp_i\cos\Theta_i)^2
(-\Delta_2^2+\Delta_1^2-4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i)},

\end{align}

et


\begin{align}
A &= \frac{Z^2\alpha_{fine}^3}{(2\pi)^2}\frac{|\vec{p}_f|}{|\vec{p}_i|}
\frac{\hbar^2}{\omega} \\
\Delta_1&= -\vec{p}_i^2-\vec{p}_f^2-\left(\frac{\hbar}{c}\omega\right)^2+2\frac{\hbar}{c}\omega|\vec{p}_i|\cos\Theta_i, \\
\Delta_2&= -2\frac{\hbar}{c}\omega|\vec{p}_f|+2|\vec{p}_i||\vec{p}_f|\cos\Theta_i.
\end{align}

Une analyse de la section efficace différentielle doublement montre, par exemple, que des électrons dont l'énergie cinétique est plus grande que l'énergie au repos (511 keV), émettent des photons en majorité devant alors que des électrons avec une petite énergie émettent des photons isotropement.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes
  1. L'énergie des électrons suit une distribution de Maxwell-Boltzmann à une température T_e.
  2. C'est une puissance par intervalle de fréquence angulaire par volume, intégrée sur l'angle solide en entier.
Références
  1. a et b (en) S. Ichimaru, Basic Principles of Plasmas Physics: A Statistical Approach, p. 228.
  2. (en) NRL Plasma Formulary, 2006 Revision, p. 58.
  3. (en) [1]
  4. Bethe, H.A., Heitler, W., 1934. On the stopping of fast particles and on the creation of positive electrons. Proc. Phys. Soc. Lond. 146, 83–112
  5. Koehn, C., Ebert, U., Angular distribution of Bremsstrahlung photons and of positrons for calculations of terrestrial gamma-ray flashes and positron beams, Atmos. Res. (2013), http://dx.doi.org/10.1016/j.atmosres.2013.03.012

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]